Réponse : Bonsoir,
1)a) Comme le triangle [tex]OA_{n}A_{n+1}[/tex] rectangle isocèle en [tex]A_{n+1}[/tex], alors les angles [tex]\widehat{A_{n+1}OA_{n}}=\widehat{OA_{n}A_{n+1}}=45 \°[/tex].
On a que:
[tex]\cos(\widehat{A_{n+1}OA_{n}})=\frac{OA_{n+1}}{OA_{n}}\\OA_{n+1}=\cos(\widehat{A_{n+1}OA_{n}}) \times OA_{n}=\cos(45\°) \times OA_{n}=\frac{1}{\sqrt{2}}OA_{n}[/tex]
b) Comme pour tout entier naturel n, [tex]l_{n}[/tex], est la longueur [tex]OA_{n}[/tex], alors on en déduit que:
[tex]l_{n+1}=\frac{1}{\sqrt{2}}l_{n}[/tex]
Donc la suite [tex](l_{n})[/tex] est géométrique de raison [tex]\frac{1}{\sqrt{2}}[/tex].
c) On a donc pour tout entier n: [tex]l_{n}=l_{0} \times (\frac{1}{\sqrt{2}})^{n}=1 \times (\frac{1}{\sqrt{2}})^{n}=(\frac{1}{\sqrt{2}})^{n}[/tex].
2)a) On a:
[tex]\displaystyle p_{n}=l_{1}+l_{2}+...+l_{n}=l_{1} \times \frac{1-(\frac{1}{\sqrt{2}})^{n}}{1-\frac{1}{\sqrt{2}}}=\frac{1}{\sqrt{2}} \times \frac{1-\frac{1}{(\sqrt{2})^{n}}}{\frac{\sqrt{2}-1}{\sqrt{2}}}=\frac{1-\frac{1}{(\sqrt{2})^{n}}}{\sqrt{2}-1}[/tex]
b) On a que:
[tex]p_{8}=\frac{1-\frac{1}{(\sqrt{2})^{8}}}{\sqrt{2}-1}=\frac{1-\frac{1}{2^{4}}}{\sqrt{2}-1}=\frac{1-\frac{1}{16}}{\sqrt{2}-1}=\frac{15}{16} \times \frac{1}{\sqrt{2}-1}=\frac{15}{16} \times \frac{\sqrt{2}+1}{(\sqrt{2}-1)(\sqrt{2}+1)}\\=\frac{15}{16} \times \frac{\sqrt{2}+1}{2-1}=\frac{15}{16}(\sqrt{2}+1)=\frac{15\sqrt{2}+15}{16}[/tex]
