Réponse : Bonsoir,
1) On vérifie déjà que le point A(1;3) appartient aux deux courbes.
[tex]f(1)=-1^{2}+4=-1+4=3[/tex]
Donc [tex]A \in C_{f}[/tex].
[tex]g(1)=1^{2}-4 \times 1+6=1-4+6=-3+6=3[/tex]
Donc [tex]A \in C_{g}[/tex].
Les courbes [tex]C_{f}[/tex] et [tex]C_{g}[/tex] ont une tangente commune en A, si et seulement si [tex]f'(1)=g'(1)[/tex]. Car comme cette tangente passe par le point A, alors si la pente est la même, alors nécessairement, l'ordonnée à l'origine est la même.
Il faut donc vérifier que f'(1)=g'(1):
[tex]f'(x)=-2x\\g'(x)=2x-4\\f'(1)=-2 \times 1=-2\\g'(1)=2 \times 1-4=2-4=-2[/tex]
Donc f'(1)=g'(1), alors les courbes [tex]C_{f}[/tex] et [tex]C_{g}[/tex], ademettent bien une tangente commune au point A.
2) L'équation de cette tangente T est:
[tex]y=f'(1)(x-1)+f(1)\\f(1)=-1^{2}+4=-1+4=3\\Donc \; y=-2(x-1)+3=-2x+2+3=-2x+5[/tex]
L'équation de la tangente commune T est y=-2x+5.
