Bonjour ;
Soit z ∈ Z .
Soit x ∈ [z ; z + 1[ avec z constant ; donc on a : [x] = z .
On a aussi : [z] ≤ x < [x] + 1 ; donc : 0 ≤ x - [x] < 1 ;
donc : 0 ≤ √(x - [x]) < 1 ; donc : f(x) = [x] - √(x - [x]) = z - √(x - z) ;
donc f est continue sur [z ; z + 1[ car la fonction x ---> x - z
est continue sur IR et la fonction racine carré est continue
sur IR+ ; donc la composée de ces deux fonctions est continue
sur IR ; donc sur [z ; z + 1[ ; et comme on a z ∈ Z alors f est
continue la réunion de ces intervalles qui IR dont on
a retranché l'ensemble Z .
Il reste donc à démontrer que f continue en z ∈ Z .
Calculons lim(x ---> z -)f(x) .
Pour x ∈ [z - 1 ; z[ , on a : [x] = z - 1 ;
donc : lim(x ---> z -) f(x) = lim(x ---> z -) [x] + √(x - [x])
= z - 1 + √(z - z + 1) = z - 1 + 1 = z .
Calculons maintenant lim(x ---> z +)f(x) .
Pour x ∈ [z ; z + 1[ , on a : [x] = z ;
donc : lim(x ---> z +)f(x) = lim(x ---> z +) [x] + √(x - [x])
= z + √(z - z) = z .
On a donc : lim(x ---> z +)f(x) = lim(x ---> z -)f(x) = z ;
donc f est continue en tout z ∈ Z .
Conclusion : f est continue sur IR .
