Réponse:
La tangente a Cf au point d'abscisse -1 a pour coefficient directeur f'(-1)
Graphiquement,on détermine l'equation de la tangente :
y = x+1
On a donc f'(-1)=1
Dérivons f pour obtenir l'expression de f'(x)
f'(x) = -4x³+2×2x+1
f'(x) = -4x³+4x+1
Cherchons les valeurs de x pour lesquelles f'(x)=1
f'(x)=1 <=>
-4x³+4x+1 = 1 <=>
-4x³+4x = 0 <=>
4x(-x²+1) = 0 <=>
4x(1²-x²) = 0 <=>
4x(1-x)(1+x) = 0 <=>
4x = 0 ou 1-x=0 ou 1+x = 0
x=0 ou x = 1 ou x = -1
La courbe représentive de f admet donc une tangente de coefficient directeur -1 aux points d'abscisse x=0, x=-1 et x =1.
Vérifions lequel de ces point appartient à la tangente d'equation y=x+1 et à la courbe.
f(0)=0 et pour x=0, y=0+1 = 1
f(0)≠1
donc la droite d'équation y=x+1 n'est pas tangente à Cf en x=0
f(1) = -1⁴+2×1²+1 = 2
et pour x= 1, y = 1+1 = 2
Le point de coordonnées (1;2) vérifie l'equation de la droite et la fonction.
La droite d'equation y=x+1 est egalement tangente à Cf au point d'abscisse 1
