Réponse :
Explications étape par étape
Bonjour
Voir pièce jointe
A(-2;1) B(4;3) M(a;b)
1) coordonnées de K, milieu de AB :
xK = (xB + xA)/2 = (4 + (-2))/2= 2/2 = 1
yK = (yB + yA)/2 = (3 + 1)/2 = 4/2 = 2
K (1;2)
2) voir pièce jointe
3) a) Conjecturer la nature triangle AMB :
Il semble que c’est un triangle rectangle
b) montrer que AB = 2KM :
KM = KA
KA = 1/2 AB
KM = 1/2 AB
AB = 2 KM
c) exprimer AM^2 et BM^2 :
AM^2 = (xM - xA)^2 + (yM - yA)^2
AM^2 = (a + 2)^2 + (b - 1)^2
AM^2 = a^2 + 4a + 4 + b^2 - 2b + 1
AM^2 = a^2 + 4a + b^2 - 2b + 5
BM^2 = (xM - xB)^2 + (yM - yB)^2
BM^2 = (a - 4)^2 + (b - 3)^2
BM^2 = a^2 - 8a + 16 + b^2 - 6b + 9
BM^2 = a^2 - 8a + b^2 - 6b + 25
d) prouver la conjecture :
AB^2 = (xB - xA)^2 + (yB - yA)^2
AB^2 = (4 + 2)^2 + (3 - 1)^2
AB^2 = 6^2 + 2^2
AB^2 = 36 + 4
AB^2 = 40
AM^2 + BM^2 = a^2 + 4a + b^2 - 2b + 5 + a^2 - 8a + b^2 - 6b + 25
AM^2 + BM^2 = 2a^2 - 4a + 2b^2 - 8b + 30
M (-2;3)
AM^2 + BM^2 = 2 (-2)^2 - 4 * (-2) + 2 (3)^2 - 8 * 3 + 30
AM^2 + BM^2 = 2 * 4 + 8 + 2 * 9 - 24 + 30
AM^2 + BM^2 = 8 + 8 + 18 - 24 + 30
AM^2 + BM^2 = 40
Le triangle est donc rectangle
