Réponse : Bonjour,
2) Soit un réel a appartenant à l'intervalle I, alors l'équation de la tangente [tex]T_{a}[/tex], à la courbe de f au point d'abscisse a est:
[tex]y=f'(a)(x-a)+f(a)=f'(a)x-af'(a)+f(a)=\tau(x)[/tex].
On a donc:
[tex]f(x)-\tau(x)=f(x)-f'(a)x+af'(a)-f(a)[/tex].
Etudions les variations de la fonction [tex]x \mapsto f(x)-\tau(x)[/tex].
Pour cela, on calcule sa dérivée:
[tex](f(x)-\tau(x))'=f'(x)-\tau(x)'=f'(x)-f'(a)[/tex]
Par hypothèse, la fonction f' est croissante sur I, donc pour tout [tex]x \leq a, f'(x)-f'(a) \leq 0[/tex], et pour tout [tex]x \geq a[/tex], [tex]f'(x)-f'(a) \geq 0[/tex].
On a donc le tableau de variations suivant:
x a
(f(x)-τ(x))' - Φ +
f(x)-τ(x) (décroissant) (croissant)
Au vu du tableau précédent, le minimum de [tex]x \mapsto f(x)-\tau(x)[/tex], est atteint en x=a, et ce minimum vaut:
[tex]f(a)-\tau(a)=f(a)-f'(a)a+af'(a)-f(a)=0[/tex].
On en déduit que pour tout [tex]x \in I[/tex], [tex]f(x)-\tau(x) \geq 0[/tex], et donc que [tex]f(x) \geq \tau(x)[/tex].
Ce qui montre que f est au dessus de toutes ses tangentes.
3) C'est le même principe que la question précédente.
Etudions les variations de la fonction [tex]x \mapsto f(x)-\tau(x)[/tex].
Pour cela, on calcule sa dérivée:
[tex](f(x)-\tau(x))'=f'(x)-\tau(x)'=f'(x)-f'(a)[/tex]
Par hypothèse, la fonction f' est décroissante sur I, donc pour tout [tex]x \leq a, f'(x)-f'(a) \geq 0[/tex], et pour tout [tex]x \geq a[/tex], [tex]f'(x)-f'(a) \leq 0[/tex].
On a donc le tableau de variations suivant:
x a
(f(x)-τ(x))' + Φ -
f(x)-τ(x) (croissant) (décroissant)
Au vu du tableau précédent, le maximum de [tex]x \mapsto f(x)-\tau(x)[/tex], est atteint en x=a, et ce maximum vaut:
[tex]f(a)-\tau(a)=f(a)-f'(a)a+af'(a)-f(a)=0[/tex].
On en déduit que pour tout [tex]x \in I[/tex], [tex]f(x)-\tau(x) \leq 0[/tex], et donc que [tex]f(x) \leq \tau(x)[/tex].
Ce qui montre que f est en dessous de toutes ses tangentes.