Réponse :
Utilise un repère orthonormé comme demandé pour vérifier tes calculs au fur et à mesure que tu avances.
Explications étape par étape
1)
1) vecAE=(-1/2)vecAB
les composantes (coordonnées) de vecAB:
xAB=xB-xA=4-3=1 et yAB=yB-yA=7-3=4 vecAB(1; 4)
coordonnées de E :
xE=xA-(1/2)xAB=3-1/2=5/2 et yE=yA-(1/2)yAB=3-2=1
les coordonnées de E(5/2: 1)
2)I milieu de [BC]
xI=(xC+xB)/2=(8+4)/2=6 et yI=(yC+yB)/2=(4+7)/2)=11/2
coordonnées de I(6; 11/2)
3) coordonnées de D sachant que I est le milieu de [AD]
si I milieu de [AD], xI=(xD+xA)/2 soit xD=2xI-xA=12-3=9
et yI=(yD+yA)/2 soit yD=2yI-yA=11-3=8 coordonnées de (9;8)
4) si les vecAC et vecBD sont colinéaires vecBD=k*vecAC
composantes de vecAC(8-3=5; 4-3=1) vecAC(5; 1)
composantes vecBD(9-4=5; yD-7) on note que xBD=xAC=5 donc k=1
ce qui donne yBD=yAC soit yD-7=1 soit yD=8
coordonnées de D(9; 8)
5)vecAC=vecBD par conséquent le quadrilatère ABDC est un parallélogramme.
6)vecEF=vecAC donc F est l'image de E par translation de vecAC
xF=xE+xAC=5/2+5=15/2 et yF=yE+yAC=1+1=2 F(15/2;2)
le quadrilatère ACFE est un parallélogramme.
7)J milieu de [AF]
xJ=(xF+xA)/2=(15/2+3)/2=21//4 et yJ=(yF+yA)/2=(2+3)/2=5/2
coordonnées de J(21/4; 5/2)
vecBE a pour coordonnées xBE=5/2-4=-3/2 et yBE=1-7=-6
vec BE(-3/2; -6)
vecDF a pour coordonnées xDF=15/2-9=-3/2 et yDF=2-8=-6
vecDF (-3/2: -6) On note déjà qque vecDF=vecBE
vecIJ a pour composantes xIJ=21/4-6=-3/4 et yIJ=5/2-11/2=-3
On note vecIJ=(1/2)vecBE=(1/2)vecDF
ces 3 vecteurs sont donc colinéaires.
8) II vecIJ II= (1/2) II vecBE II déjà fait à la question7 pour le démontrer par le calcul il faut faut calculer
II vecIJ II=rac[xJ-xI)²+(yJ-yI)²]=rac[(-3/4)²+(-3)²]=..............
II vecBE II=rac[(xE-xB)²+(yE-yB)²]=rac[(-3/2)²+(-6)²]=...........
Garde les valeurs exactes.
9) C'est un rappel du programme de 5éme sur les triangles et les droites des milieux.(ABDC est un parallélogramme I étant le milieu de [AD] c'est aussi le milieu de [BC] de même dans le parallélogramme ACFE J est le milieu de [EC] par conséquent dans le triangle BCE, IJ est une droite des milieux donc IJ=BE/2.
10) Si H est le projeté orthogonal de D sur (BE) les droites (BE) et (DH) sont perpendiculaires.De même pour les droites (EK) et (DF).
11)En utilisant la propriété des droites (BE)//(DF) des angles alternes internes ou correspondants du démontres que BHD=HDF=90°
comme (EK) perpendiculaire (DF) et (HD) perpendiculaire (DF) tu en déduis que (DH)//(EK) .
le quadrilatère EHDK à ses côtés opposés // et un angle droit (même plus) c'est donc un rectangle.
