Bonjour, j'ai un problème avec cet exercice...

On veut déterminer la position relative de la courbe de la fonction racine carrée et de la droite d’équation y = x , pour x positif. Pour cela on étudie le signe de la fonction f définie sur [0 ; +∞[ par f (x ) = x − √x .

1) Montrer que f (x ) = √x ( √x −1).

2) Voici la représentation graphique de la fonction racine carrée. À l’aide de la courbe, résoudre graphiquement

l’inéquation √x ≥ 1.

3) Reproduire et compléter le tableau de signe suivant :
(en annexe)

En déduire l’ensemble S des solutions de f (x ) ≥ 0.

4) Grâce au tableau de signe de la question précédente, déterminer la position relative de la droite d’équation y = x et de la courbe de la fonction racine carrée, pour x positif.

Autrement dit, dire pour quelles valeurs de x , la courbe de la fonction racine carrée est au- dessus (respectivement en dessous) de la droite d’équation y = x .

5) Comparer les nombres suivants :

a) 2 et √2,

b) √2 et √√2,

c) 1/2 et 1/√2

Merci d'avance

Question

Answered

Sagot :

SVANT SVANT · Answer 1 · 2020-02-10T15:25:09+01:00

Réponse :

1) [tex]\sqrt{x} (\sqrt{x} -1)=\sqrt{x} ^{2} -\sqrt{x} =x-\sqrt{x} =f(x)[/tex]

2) [tex]\sqrt{x} \geq 1[/tex] pour x ∈ [1; +∞[

3) D'après la question 2, √x - 1 ≥ 0 pour x ≥ 1

√x ≥0 pour tout x de R+

Ainsi f(x) ≥ 0 pour x ∈ [1; +∞[

4) x - √x ≥ 0 pour x ≥1

x ≥ √x pour x ≥ 1

Donc la droite d’équation y=x est au dessus de la courbe de la fonction racine carrée pour tout x ≥ 1 et en dessous pour tout 0 ≤ x ≤ 1

La droite et la courbe se coupent en x =0 et x = 1.

5)

2 ≥ 1 donc 2 ≥ √2

√2 ≥ 1 donc √2 ≥ √√2

1/2 ≤ 1 et 1/√2 = √(1/2) donc 1/2 ≤ 1/√2

Explications étape par étape