Réponse : Bonsoir,
Exercice 1
1) L'équation de la tangente au point a=0, est:
[tex]y=f'(0)(x-0)+f(0)\\f'(x)=10x-6\\f'(0)=-6\\f(0)=5[/tex]
Donc l'équation de la tangente au point a=0 est:
[tex]y=-6x+5[/tex].
2)a) L'équation de la tangente à la courbe de f au point d'abscisse a est:
[tex]y=f'(a)(x-a)+f(a)[/tex]
De plus:
[tex]f'(a)=10a-6\\f(a)=5a^{2}-6a+5[/tex]
Donc l'équation recherchée est:
[tex]y=f'(a)(x-a)+f(a)\\y=(10a-6)(x-a)+5a^{2}-6a+5\\y=(10a-6)x-10a^{2}+6a+5a^{2}-6a+5\\y=(10a-6)x-5a^{2}+5[/tex]
b) La tangente est parallèle à l'axe (Ox) si et seulement si le coefficient directeur de la tangente est nulle.
Donc que:
[tex]10a-6=0\\10a=6\\a=\frac{3}{5}[/tex]
Donc au point d'abscisse [tex]a=\frac{3}{5}[/tex], la tangente à f est parallèle à l'axe des abscisses (Ox).
c) La tangente passe par l'origine si et seulement si l'ordonnée à l'origine est égale à 0:
[tex]-5a^{2}+5=0\\-5a^{2}=-5\\5a^{2}=5\\a^{2}=1\\a=-1 \quad ou \quad a=1[/tex]
Donc aux points d'abscisses -1 et 1, la tangente à f passe par l'origine.
Exercice 2
1) On a:
[tex]f(1)=2\\f(2)=3[/tex]
La tangente au point d'abscisse 1 à f est la droite (AC). Donc f'(1) est le coefficient directeur de la droite (AC):
[tex]f'(1)=\frac{2-(-1)}{1-0}=3[/tex]
La tangente à f au point d'abscisse 2 est horizontale, donc son coefficient directeur est nul. Donc f'(2)=0
2)a)
[tex]f'(x)=\frac{b(x^{2}+1)-2x(bx+c)}{(x^{2}+1)^{2}}=\frac{bx^{2}+b-2bx^{2}-2cx}{(x^{2}+1)^{2}}=\frac{-bx^{2}-2cx+b}{(x^{2}+1)^{2}}[/tex]
b) On avait trouvé que f'(2)=0, donc:
[tex]\frac{-b \times 2^{2}-2c \times 2+b}{(2^{2}+1)^{2}}=0\\ -4b-4c+b=0\\-3b-4c=0[/tex]
On obtient donc une première équation -3b-4c=0.
On avait trouvé f(1)=2:
[tex]a+\frac{b \times 1+c}{1^{2}+1}=2\\a+\frac{b+c}{2}=2\\\frac{2a+b+c}{2}=2\\2a+b+c=4[/tex]
De l'équation [tex]-3b-4c=0[/tex], on a que [tex]b=-\frac{4}{3}c[/tex], donc en l'injectant dans l'équation 2a+b+c=4, on a:
[tex]2a-\frac{4}{3}c+c=4\\2a+\frac{3c-4c}{3}=4\\ 2a-\frac{1}{3}c=4[/tex]
[tex]2a=4+\frac{1}{3}c\\2a=\frac{12+c}{3}\\a=\frac{12+c}{3} \times \frac{1}{2}=\frac{12+c}{6}[/tex]
Enfin, on avait trouvé que f(2)=3:
[tex]a+\frac{b \times 2+c}{2^{2}+1}=3\\a+\frac{2b+c}{5}=3\\\frac{5a+2b+c}{5}=3\\ 5a+2b+c=15[/tex]
En remplaçant a et b par leurs expressions en fonction de c:
[tex]5a+2b+c=15\\5 \times \frac{12+c}{6}+2 \times -\frac{4}{3}c+c=15\\\frac{5(12+c)-16c+6c}{6}=15\\\frac{60+5c-10c}{6}=15\\ -5c+60=15 \times 6\\-5c+60=90\\-5c=30\\c=-\frac{30}{5}=-6[/tex]
On a donc:
[tex]a=\frac{12+c}{6}=\frac{12-6}{6}=\frac{6}{6}=1\\\\b=-\frac{4}{3}c=-\frac{4}{3} \times (-6)=\frac{24}{3}=8[/tex]
On a donc [tex]f(x)=1+\frac{8x-6}{(x^{2}+1)^{2}}[/tex]
