Réponse :
ex64
1) f(t) = (2 t² + 3 t)(5 t + 3)⁷ I = R
on a un produit de deux fonctions (u x v) ' = u ' v + v ' u
u = 2 t² + 3 t ⇒ u ' = 4 t + 3
v = (5 t + 3)⁷ ⇒ v ' = 7 x 5(5 t + 3)⁶ = 35(5 t + 3)⁶
f '(t) = (4 t + 3)(5 t + 3)⁷ + 35(5 t + 3)⁶(2 t² + 3 t)
= (5 t + 3)⁶((4 t + 3)(5 t + 3) + 35(2 t² + 3 t)
= (5 t + 3)⁶(20 t² + 27 t + 9 + 70 t² + 105 t)
f '(t) = (5 t + 3)⁶(90 t² + 132 t + 9)
2) f(x) = (x+1)√(1 - 2 x) avec I = ]- ∞ ; 1/2[
(u*v) ' = u ' v + v ' u
u = x + 1 ⇒ u ' = 1
v = √(1- 2 x) ⇒ v ' = - 2/2√(1-2 x) = - 1/√(1 - 2 x)
f '(x) = √(1-2 x) + (- 1/√(1 - 2 x)) * (x + 1)
= [(1 - 2 x) - (x + 1)]/√(1 - 2 x)
f '(x) = - 3 x/√(1 - 2 x)
3) f(t) = (3 t + 2)³√(3 t+2) avec I = ]- 2/3 ; + ∞[
(u x v) ' = u ' v + v ' u
u = (3 t + 2)³ ⇒ u ' = 3 x 3(3 t + 2)² = 9(3 t + 2)²
v = √(3 t + 2) ⇒ v ' = 3/2√(3 t + 2)
f '(t) = 9(3 t + 2)² √(3 t +2) + (3/2√(3 t + 2))(3 t + 2)³
= 3(3 t + 2)²(3√(3 t + 2) + (3 t + 2)/2√(3 t+2))
= 3(3 t + 2)²((6(3 t + 2) + (3 t + 2))/2√(3 t+2))
= 3(3 t + 2)²(18 t + 12 + 3 t + 2)/2√(3 t+2))
= 3(3 t + 2)²(21 t + 14 )/2√(3 t+2)
= [21(3 t + 2)²(3 t + 2)]/2√(3 t + 2)
f (t) = 21(3 t + 2)³/2√(3 t+2)
4) f(x) = 5/4(5 x+1)⁴ avec I = ]- ∞ ; - 1/5[
posons u = 5 ⇒ u ' = 0
v = 4(5 x + 1)⁴ ⇒ v ' = 4*4*5(5 x + 1)³ = 80(5 x + 1)³
f '(x) = - 400(5 x + 1)³/(4(5 x+1)⁴)² = - 400(5 x+1)³/16(5 x+1)⁸ = - 25/(5 x+1)⁵
Explications étape par étape
