Réponse :
Bonjour
Explications étape par étape
1)
a)
Le prix de x milliers d'objets est p et :
p=11-x
OK ?
Donc la recette pour x milliers d'objets achetés est :
R(x)=x(11-x)=11x-x²
b)
La fonction f(x)=ax²+bx+c avec a < 0 est croissante sur ]-inf;-b/2a] et décroissante ensuite.
Pour R(x)=-x²+11x , on a :
-b/2a=-11/-2=5.5
Variation :
x------->1..........................5.5.........................10
R(x)---->10.........C..........30.25......D..........10
C=flèche qui monte
D=flèche qui descend
c)
Voir graph joint.
Production rentable si la courbe de R(x) est au-dessus de celle de C(x) soit pour x [1.5;8.3] environ donc pour une production comprise entre 1500 et 8300 objets fabriqués et vendus.
2)
a)
B(x)=R(x)-C(x)
B(x)=-x²+11x-5ln(x)-12
Ce que l'on te donne.
b)
B '(x)=-2x+11-5/x
B '(x)=(-2x²+11x-5)/x
Sur [1;10] le dénominateur est positif donc B '(x) est du signe de :
-2x²+11x-5
qui est positif entre les racines car le coeff de x² est < 0.
Δ=b²-4ac=11²-4(-2)(-5)=81
√81=9
x1=(-11-9)/-4=5 et x2=(-11+9)/-4=0.5
Tableau :
x--------->1....................0.5.....................5..................10
b '(x)----->..........-.........0.............+...........0...........-....
B(x)------>-2.........D......-3.28....C.........9.95...............-13.51
c)
Sur [0.5;5] , la fct B(x) est continue et srictement décroissante passant d'une valeur négative pour x=0.5 à une valeur positive pour x=5. Donc d'après le théorème des Valeurs Intermédiaires , il existe un unique réel α telle que B(α)=0.
B(1.45)=-0.103 < 0
B(1.46)=0.03622
Donc :
α ≈ 1.46
Sur [5;10] , la fct B(x) est continue et strictement décroissante passant d'une valeur positive pour x=5 à une valeur négative pour x=10. Donc d'après le théorème des Valeurs Intermédiaires , il existe un unique réel β telle que B(β)=0.
B(8.27)=0.01393 > 0
B(8.28)=-0.476 < 0
Donc :
β ≈ 8.27
La production est donc rentable pour une production comprise entre 1460 et 8270 objets fabriqués et vendus.
4)
Sur [1;10] , B(x) est max pour x=5 soit pour 5000 objets fabriqués et vendus et s'élève à 9 953 euros environ.
