Réponse :
Explications étape par étape
a- Il suffit de résoudre l'équation z1 = z(alpha), ce qui équivaut à :
(racine de 3) / 2 + (1/2) = cos(alpha) + i*sin(alpha). Par identification des coefficients, tu as cos(alpha) = (racine de 3) / 2 et sin(alpha) = 1/2.
Ce sont des valeurs remarquables à connaître, on déduit immédiatement par le cercle trigonométrique, que alpha = pi/6.
Par définition, le module vaut |z1|² = Re(z1)² + Im(z1)² = cos(alpha)² + sin(alpha)² = 1, puis en prenant la racine carrée, on obtient que le module vaut 1.
b- z1² = [ cos(pi/6) + i*sin(pi/6) ]² = [ (racine de 3)/2 + i*(1/2) ]² = (3/4) + i*(racine de 3)/2 - (1/4) car i² = -1.
Finalement : z1² = (1/2) + i*(racine de 3)/2 = cos(pi/3) + i*sin(pi/3) = z2 (valeur remarquable du cercle trigo).
