Réponse :
Bonjour, n'attends pas le dernier jour pour mettre ce genre de DM sur le site car il est long; de plus ceux qui te répondent ne sont sans doute pas tous prof de maths. C'est mon cas et parfois ce n'est pas évident, la réponse n'est donc pas instantanée et peut-être pas garantie à 100%.
Explications étape par étape
J'essaie de te donner une solution pour le n°5
1) f(x)=(x-1)e^x + x²
Cette fonction est définie sur R
limites : si x tend vers -oo, f(x) tend vers +oo car (x-1)e^x tend vers 0
si x tend vers +oo f(x) tend vers +oo
Dérivée f'(x)=e^x+(e^x)*(x-1)+2x=e(x)*(x)+2x=x(e^x +2)
e^x +2 étant tjrs>0 f'(x) est du signe de x
Tableau de signes de f'(x) et de variations de f(x)
x -oo 0 +oo
f'(x) ..........................-.......................0 ..................+....................
f(x) +oo..........décroi.......................f(0.................croi............+oo
f(0)=e^0=-1
2) D'après le TVI et le tableau de variations on voit que fx)=0 admet 2 solutions : une "apha" avec -1<alpha<0 et une seconde "beta" avec 0<beta<1 avec ta calculette calcule ces valeurs au 1/100 près.
le signe de f(x)
f(x)>0 sur ]-oo; alpha[U]beta; +oo[
f(x) <0 sur ]alpha; beta[
3) f(x)-x²=(x-1)^e^x quand x tend vers -oo, f(x)-x² tend vers 0- (th. des croissance comparées) donc la courbe de f(x) est en dessous de l'asymptote parabolique x² .
4) on donne h(x)=(x-1)e^x et H(x)=(ax+b)e^x
H(x) est une primitive de h(x) si H'(x)=h(x)
H'(x)=a(e^x)+(e^x)(ax+b)=(e^x)(ax+a+b)
Par comparaison des coefficients H'(x)=h(x) si a=1 et b=-2
Ce qui donne H(x)=(x-2)e^x +cste.
5)aire entre la courbe f(x) ,l'axe des abscisses et les droites x=-1/2 et x=1 est donnée par intégrale de -1/2 à 1/2 de f(x)dx
soit F(1/2)-F(-1/2)
sachant que F(x)=H(x)+x³/3=(x-2)^e^x +x³/3
Remplace et calcule, si tu trouves une aire <0 ne soit pas surpris car on est en dessous de l'axe des abscisses change le signe ou inverse les calculs.
6) on note x=1 est le point d'intersection de f(x) avec la parabole x² .
L'aire comprise entre les deux courbes f(x) et x² et les droites d'équation x=1 et x = m (je mets m à la place de lambda) est égale à:
Intégrale de 1 à m de f(x)dx -intégrale de 1 à m de x²dx; cette différence d'intégrales=H(x)+x³/3 -x³/3 =H( x)
A(m)= (m-2)e^m -(1-2)e^1=e+(m-2)e^m
si m=1 A(m)=0
si m >1 et tend vers +oo, A(m) croit et tend vers +oo
si m <1 et tend vers -oo , A(m) croit mais sans doute vers une limite
Si m tend vers -oo (m-2)e^m tend vers 0 donc l'aire A(m) tend vers une limite l=e
6c) il faut résoudre l'équation toute simple A(m)=e
e+(m-2)e^m=e
soit (m-2)e^m=0 solution m=2
Interprétation graphique : L'aire que tu as coloriée en rouge est égale à l'aire à l'aire comprise entre les droites x=1 et m=-oo