Réponse :
Bonjour,
Explications étape par étape
T(k) est un nombre triangulaire (1,3,6,10,....)
1)
[tex]T(k)=\dfrac{k*(k+1)}{2} \\\\8*T(k)+1\\=8*\dfrac{k*(k+1)}{2} +1\\=4k*(k+1)+1\\=4k^2+4k+1\\=(2k)^2+2*(2k)+1\\=(2k+1)^2\\[/tex]
2)
[tex]T(k)+T(k+1)\\=\dfrac{k*(k+1)}{2} +\dfrac{(k+1)*(k+2)}{2} \\=\dfrac{k+1}{2}*(k+(k+2)) \\=\dfrac{k+1}{2}*2*(k+1)\\\\ =(k+1)^2\\[/tex]
3)
Si k est pair alors k=2*n avec n entier
[tex]T(k)=\dfrac{k*(k+1) }{2}\\=\dfrac{2n*(2n+1) }{2}\\==n(2n+1)[/tex]
est un entier
Si k est impair alors k=2n+1
[tex]T(k)=\dfrac{k*(k+1) }{2}\\\\=\dfrac{(2n+1)*(2n+1+1) }{2}\\=\dfrac{(2n+1)*2*(n+1) }{2}\\\\=(2n+1)*(n+1)\\[/tex]
est un entier.
