Réponse :
1a.
Si An est l'aire noircie, alors 1-An est l'aire verte restante.
Ainsi
Aₙ₊₁ = Aₙ + [tex]\frac{1}{9}[/tex](1 - Aₙ)
Aₙ₊₁ = [tex]\frac{8}{9}[/tex]Aₙ + [tex]\frac{1}{9}[/tex
1b. voir photo
A5 = 0.445
A10 = 0.629
A25 = 0.947
A50=0.997
1c. La suite (An) semble croissante. Elle semble tendre vers 1.
Bn+1 = An+1 - 1
Bn+1 = 8/9An + 1/9 - 9/9
Bn+1 = 8/9An - 8/9
Bn+1 = 8/9(An - 1)
Bn+1 = 8/9Bn
Bn+1 / Bn = 8/9 avec Bn non nul.
Ainsi la suite (Bn) est géométrique de raison 8/9 et de terme initial B1 = A1 - 1 = -8/9
2b.
Bn = B1×qⁿ⁻¹
Bn = - [tex]\frac{8}{9} (\frac{8}{9})[/tex]ⁿ⁻¹
Bn = -[tex](\frac{8}{9} )[/tex]ⁿ
2c.
An = Bn + 1
An = 1 - [tex](\frac{8}{9} )[/tex]ⁿ
2d.
An+1 - An = 1 - [tex](\frac{8}{9} )[/tex]ⁿ⁺¹ - 1 + [tex](\frac{8}{9} )[/tex]ⁿ
An+1 - An = [tex](\frac{8}{9} )[/tex]ⁿ- [tex](\frac{8}{9} )[/tex]ⁿ⁺¹
An+1 - An = [tex](\frac{8}{9} )[/tex]ⁿ(1-[tex]\frac{8}{9}[/tex])
An+1 - An = [tex]\frac{1}{9}[/tex]× [tex](\frac{8}{9} )[/tex]ⁿ
Ainsi An+1 - An > 0 donc la suite (An) est croissante pour tout n > 0
Lim -(8/9)ⁿ = 0 car lim qⁿ=0 avec 0<q<1
n→+∞ n→+∞
lim(Bn)=0 soit lim(An -1 ) = 0 ainsi lim(An) = 1
n→+∞ n→+∞ n→+∞
3. A la calculatrice avec un tableau de valeur on a :
An > 0.8 pour n ≥14
An > 0.95 pour n ≥ 26
An > 0.99 pour n ≥ 40
Explications étape par étape
