Bonjour, j'ai besoin d'aide sur ce devoir
Le plan est muni d'un repère orthonormé. On considère la droite d d'équation x=12. On note C la courbe représentative de la fonction carré. Pour tout point M de coordonnées (x;0) avec x réel compris entre 0 et 12, on construit le rectangle ABCM comme sur la figure ci-dessous.

1. Déterminer, en fonction de x, les coordonnées des points A, B et C
2. Montrer que l'aire du rectangle MABC est égale à -x^3 + 12x²
3. On considère la fonction f définie sur [0;12] par : f(x) = -x^3 + 12x²
a. Déterminer f'(x) et étudier son signe.
b. Etudier les variations de la fonction f sur [0;12]
4. Déterminer la position du point M rendant l'aire du rectangle MABC maximale et préciser cette aire.

Question

Answered

Sagot :

TAALBABACHIR TAALBABACHIR · Answer 1 · 2020-01-18T21:23:54+01:00

Réponse :

1) déterminer, en fonction de x, les coordonnées des points A, B et C

A(x ; x²) ; B(12 ; x²) C(12 - x ; 0)

2) montrer que l'aire du rectangle MABC est égale à -x³ + 12 x²

MA² = (x - x)² + (x² - 0)² = (x²)² ⇒ MA =√( x²)² = x²

AB² = (12 - x)² + (x² - x²)² = (12 - x)² ⇒ AB = √(12-x)² = 12 - x

l'aire du rectangle ABCM est: A = MA * AB = x²*(12 - x) = 12 x² - x³

3) soit f(x) = - x³ + 12 x définie sur [0 ; 12]

a) déterminer f '(x) et étudier son signe

f '(x) = - 3 x² + 24 x

pour étudier son signe il faut que f '(x) = 0 = - 3 x² + 24 x ⇔ 3 x (- x + 8) = 0

⇔ x = 0 ou - x + 8 = 0 ⇔ x = 8

x 0 8 12

f '(x) + 0 -

b) étudier les variations de la fonction f sur [0 ; 12]

x 0 8 12

f(x) 0 →→→→→→→→→→→ →→ 256 →→→→→→→→→→ 0

croissante décroissante

4) déterminer la position du point M rendant l'aire du rectangle MABC maximale et préciser cette aire

pour x = 8 l'aire de MABC est maximale cette aire est de 256

Explications étape par étape