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LAURARU974
Answered

Bonjours je suis en 2nd est j'aurais besoin d'aide pour cette exercice de mathématique . Besoin d'une réponse au plus vite merci.
Soit n un entier naturel.
1) Montrez que si n est pair alors n au carré est pair.
2) Montrez que si n au carré est impair alors n est impair (vous pouvez utilisé un raisonnement par l'absurde en utilisant ce que vous avez démontré à la question 1)
De la même manière :
3) Montrez que que si n est impair alors n au carré est impair
4) Montrez que si n au carré est pair alors n est pair (vous pouvez utilisé un raisonnement par l'absurde en utilisant ce que vous avez démontré à la question 3)
5) Quelle déduction pouvez-vous faire ?

Sagot :

JPMORIN3

bjr

1)

Montrez que si n est pair alors n² est pair.

Si n est pair c'est qu'il existe un naturel k tel que n = 2k

n² = (2k)² = 2(2k²)

n² produit par 2 du naturel (2k²) est donc pair.

2)

on vient de montrer que

si n est pair alors n² est pair (1)

 la contraposée est

si n² n'est pas pair alors n n'est pas pair (2)

quand (1) est vrai alors (2) est vraie

Or pour un naturel, ne pas être pair c'est être impair

d'où

(2) s'exprime sous la forme

si n² est impair alors n est impair

3)

Montrez que si n est impair alors n² est impair

si n est impair, c'est qu'il existe un naturel k tel que n = 2k + 1

n² = (2k + 1)² = 4k² + 4k + 1

                    = 2(2k² + 2k) + 1

                    = 2k' + 1

n² somme du nombre pair 2k' et de 1 est impair.

Si n est impair alors n² est impair

    contraposée

Si n² n'est pas impair alors n n'est pas impair

ce qui se traduit par

Si n² est pair alors n est pair

5)

déduction

je ne sais pas ce qu'ils veulent

on peut dire

un naturel et son carré sont pairs ou impairs en même temps.

BERNIE76

Réponse :

Bonjour

Explications étape par étape

1)

Si "n" est pair , on peut écrire : n=2p qui donne :

n²=(2p)²=4p² qui est multiple de 4 donc pair.

2)

On va raisonner par l'absurde en supposant que l'on peut avoir  "n²"  impair et que , dans ce cas, on peut avoir "n" pair.

Mais on a vu en 1) que si n est pair , alors n² est pair.

Donc il est absurde de supposer que l'on peut avoir  "n²"  impair et "n" pair.

3)

n impair donc :

n=2p+1

n²=(2p+1)²=4p²+4p+1

n²=2(2p²+2p)+1

qui prouve que n² est impair car multiple de 2 + 1.

4)

On va raisonner par l'absurde en supposant que l'on peut avoir  "n²"  pair et que , dans ce cas, on peut avoir "n" impair.

Mais on a vu en 3) que si n est pair , alors n² est pair.

Donc il est absurde de supposer que l'on peut avoir  "n²"  pair et "n" impair.

5)

Un nombre et son carré ont la même parité.

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