Réponse :
Bonjour
Explications étape par étape
8)
Tu calcules f(-1) et tu trouves f(-1)=0 , ce qui prouve que x=-1 est racine de f(x)=0.
Donc f(x) peut s'écrire obligatoirement :
f(x)=[x-(-1)]*P(x) =(x+1)P(x)
avec P(x) polynôme de degré 3.
f(x) est de la forme : u*v avec :
u=x+1 donc u '=1
v=P(x) donc v '=P '(x)
On applique la formule : (uv) ' =u'v+uv' qui donne :
f '(x)=1*P(x)+(x+1)*P '(x)
f '(x)=P(x)+(x+1)*P '(x)--->ligne (1)
Mais on a vu que :
f '(x)=x³-3x²-4x
Or f '(-1)=0 car : (-1)³-3(-1)²-4(-1)=-1-3+4=0
Donc la ligne (1) donne :
P(-1)+(-1+1)P '(-1)=0
P(-1)+0=0
P(-1)=0
qui prouve que x=-1 est racine de P(x).
Donc :
P(x)=[x-(-1)]Q(x) =(x+1)Q(x)
et :
f(x)=(x+1)(x+1)Q(x)
f(x)=(x+1)²Q(x)
avec Q(x) qui est un polynôme du second degré. OK ?
Donc :
f(x)=(x²+2x+1)(ax²+bx+c)
Il faut développer et par identification avec le f(x) donné , on arrive à :
a=1/4
b+2a=-1
a+2b+c=-2
b+2c=0
c=3/4
A la fin , on trouve :
a=1/4
b=-3/2
c=3/4
Donc :
f(x)=(x+1)²[(1/4)x²-(3/2)x+3/4]
f(x)=(x+1)²[(1/4)x²-(6/4)x+3/4]
f(x)=(1/4)(x+1)²(x²-6x+3)
On résout f(x)=0
(x+1)²(x²-6x+3)=0 soit :
(x+1)²=0 OU : x²-6x+3=0
Une racine double : x=-1
Puis on résout :
x²-6x+3=0
Δ=(-6)²-4*1*3=24 > 0
√24=√(4*6)=2√6
x1=(6+2√6)/2=3+√6
x2=3-√6
Les 4 racines de f(x) sont donc :
x=-1 : racine double .
x=3-√6 (≈ 0.55 )
x=3+√6 ( ≈ 5.45 )
Voir graph.
