bjr
Un = 1/n - 2/(n + 1) avec n ≥ 1
1)
l'indice n est devenu n + 1
Un+1 : on remplace n par n+ 1 dans Un
Un+1 = 1/(n+1) - 2/[(n + 1) + 1] = 1/(n+1) - 2/(n + 2)
on calcule la différence
Un+1 - Un = 1/(n+1) - 2/(n + 2) - [1/n - 2/(n + 1) ]
= 1/(n+1) - 2/(n + 2) - 1/n + 2/(n + 1) ]
= -1/n + 3/(n+1) -2/(n+2) (on réduit au même dénominateur)
= [- (n+1)(n+2) + 3n(n+2) -2n(n+1)] / n(n+1)(n+2)
numérateur
-n² - 3n - 2 + 3n² + 6n - 2n² -2n = n - 2
Un+1 - Un = (n-2) / n(n+1)(n+2)
2)
on étudie le signe de cette différence
une suite Un est strictement croissante si pour tout naturel n : Un+1 > Un
Ici la différence (n-2) / n(n+1)(n+2) a le signe de n - 2 car le dénominateur est positif
n - 2 > 0
n > 2
la suite est strictement croissante à partir de n = 3
