Réponse :
Bonjour
Explications étape par étape
Exo 3 :
1)
f(x)=(x²+2x+1) / (x²+2x+1)=x²(1+2/x+1/x²) / x²(1+2/x)
On simplifie par x ≠ 0 au voisinage de l'infini.
f(x)=(1+2/x+1/x²) / (1+2/x)
Au voisinage de l'infini, 2/x et 1/x² tendent vers zéro..
Donc , au voisinage de l'infini , f(x) tend vers 1/1=1
Lim f(x)=1
x--->+ ou - infini.
2)
Quand x tend vers -2 , le numérateur de f(x) tend vers 1 qui est > 0. OK
Quand x tend vers - 2 avec x < -2 , alors le déno tend vers zéro par valeurs positives .
Donc :
lim f(x)=+inf
x--->-2
x < -2
Quand x tend vers - 2 avec x > -2 , alors le déno tend vers zéro par valeurs négatives .
lim f(x)=-inf
x--->-2
x > -2
Même type de démonstration pour x qui tend vers zéro.
Quand x tend vers 0 , le numérateur de f(x) tend vers 1 qui est > 0. OK
Quand x tend vers 0 avec x < 0, alors le déno tend vers zéro par valeurs négatives .
lim f(x)=-inf
x--->0
x < 0
Et tu montres que :
lim f(x)=+inf
x--->0
x > 0
3)
On a une asymptote horizontale : y=1
Et deux asymptotes verticales :
x=-2 et x=0
4)
f est de la forme u/v avec :
u=x²+2x+1 donc u '=2x+2
v=x²+2x donc v '=2x+2
f '(x)=[(2x+2)(x²+2x)-(x²+2x+1)(2x+2) ] / (x²+2x)²
Je dévelppe seulement le numé rateur N :
N=(2x+2)[(x²+2x)-(x²+2x+1))
N=(2x+2)(-1)
N=-2x-2
f '(x)=(-2x-2)/ (x²+2x)²
f '(x) est du signe de : -2x-2
-2x-2 > 0 ===> x < -1
Tableau de variation :
x---->-inf.........-2.................-1..................0..................+inf
f '(x)->.......+................+.........0.......-...............-................
f(x)-->.......C......||.............C....0......D.......||......D........
C=flèche qui monte
D=flèche qui descend.
Tu indiques les limites.
5)
Graph joint.
