Réponse :
A(x) = x³ + 5 x² - x - 5
1) montrer que, pour tout x ∈ R
A(x) = (x + 1)³ + 2(x² - 2 x - 3)
il suffit de développer l'expression du second membre pour retrouver A
(x+ 1)³ + 2(x² - 2 x - 3) = x³ + 3 x² + 3 x + 1 + 2 x² - 4 x - 6
= x³ + 5 x² - x - 5 = A(x)
2) pour tout x ∈ R, on pose B(x) = x² - 2 x - 3
Factoriser B(x)
B(x) = x² - 2 x - 3 ⇔ B(x) = x² - 2 x - 3 + 1 - 1 ⇔ B(x) = (x² - 2 x + 1) - 4
⇔ B(x) = (x - 1)² - 2² c'est une identité remarquable a²-b² = (a+ b)(a-b)
= (x - 1 + 2)(x - 1 - 2)
= (x + 1)(x - 3)
B(x) = (x + 1)(x - 3)
3) en utilisant les questions 1 et 2 résoudre l'équation (E)
A(x) = (x + 1)³ + 2(x + 1)(x - 3) = 0 (E)
= (x + 1)((x+ 1)² + 2 x - 6)
= (x + 1)(x² + 2 x + 1 + 2 x - 6) = 0
= (x + 1)(x² + 4 x - 5) = 0 ⇔ x + 1 = 0 ⇔ x = - 1
ou x² + 4 x - 5 = 0
Δ = 16 + 20 = 36 > 0 on a deux solutions distinctes
x1 = - 4 + 6)/2 = 1
x2 = - 4 - 6)/2 = - 5
l'ensemble des solutions de l'équation (E) est: S = {- 5 ; - 1 ; 1}
Explications étape par étape
