Exercice 2 : PRISE D'INITIATIVES : les trois questions sont indépendantes.
1) On appelle racine d'un polynôme P une solution de l'équation P(x) = 0)
a) Proposer un polynôme du second degré qui n'a pas de racine réelle.
b) Pourquoi un polynôme du troisième degré a-t-il toujours au moins une racine réelle ?
c) A quelle condition portant sur le degré d'un polynôme peut-on être sûr que celui-ci a au
moins une racine réelle sans effectuer de calcul ? Justifier.
2) Soit f une fonction continue de [0:1] à valeurs dans [0; 1).
Montrer que f admet au moins un point fixe (c'est-à-dire l'équation f(x) = x a au moins
une solution)
3) Que peut-on dire d'une fonction continue sur R qui ne prend qu'un nombre fini de valeurs ?
Pouvez vous m’aider pour cet exercice s’il vous plaît merci d’avance .

b) En effet, prenons un polynôme de degré 3 comme P(x) = ax^3 + bx^2 + cx + d. En - infini, la limite vaut - infini. En + infini, la limite vaut + infini. Les polynômes étant des fonctions continues sur R, par le théorème des valeurs intermédiaires, il existe au moins une racine réelle, telle que P(x) = 0.

c) Comme vu précédemment, il suffit de prendre un degré impair, ainsi lors du calcul des limites, en - infini on aura - infini, et en + infini on aura + infini. Ensuite on réutilise le théorème des valeurs intermédiaires.

2) Posons g(x) = f(x) - x, qui est définie sur [0;1] à valeurs dans [-1;1]. f est continue, x aussi, donc par operations de fonctions continues sur l'intervalle, g est continue.

On peut supposer f monotone, ainsi, g est aussi monotone sur [0;1]. En effet, 0 € g([0;1]) = [-1;1], ainsi par le théorème des valeurs intermédiaires, l'équation g(x) = 0 admet au moins une solution sur [0;1].

Mais, g(x) = 0, ça équivaut à f(x) - x = 0 donc f(x) = x.

3) On peut seulement affirmer qu'elle est bornée, puisqu'elle prend un nombre fini de valeurs.