Réponse :
Bonjour,
Explications étape par étape
2b)
Je note [tex]I=I_3[/tex]
[tex]A^2=A+2I\\\\A^n=u_n*A+v_n*I\\\\A^{n+1}=u_{n+1}*A+v_{n+1}*I \\\\A^{n+1}=A^n*A\\=(u_{n}*A+v_{n}*I )*A\\=(u_{n}*A^2+v_{n}*A\ car\ I*A=A\\=(u_{n}*(A+2I)+v_{n}*A\\=(u_{n}+v_{n})*A+2*u_{n}I\\\\u_{n+1}=u_{n}+v_{n}\\v_{n+1}=2u_n\\[/tex]
2d)
[tex]M^n=\dfrac{2^n}{3} *\begin{bmatrix}2&1\\2&1\\\end{bmatrix}+\dfrac{(-1)^n}{3} *\begin{bmatrix}1&-1\\-2&2 \end{bmatrix}\\M^{n+1}=M^{n}*M\\\\=(\dfrac{2^n}{3} *\begin{bmatrix}2&1\\2&1\\\end{bmatrix}+\dfrac{(-1)^n}{3} *\begin{bmatrix}1&-1\\-2&2 \end{bmatrix})*\begin{bmatrix}1&1\\2&0\\\end{bmatrix}\\[/tex]
[tex]=\dfrac{2^n}{3} *\begin{bmatrix}2&1\\2&1\\\end{bmatrix} *\begin{bmatrix}1&1\\2&0\\\end{bmatrix} +\dfrac{(-1)^n}{3} *\begin{bmatrix}1&-1\\-2&2 \end{bmatrix}*\begin{bmatrix}1&1\\2&0\\\end{bmatrix}\\\\\\=\dfrac{2^n}{3} *\begin{bmatrix}4&2\\4&2\\\end{bmatrix} +\dfrac{(-1)^n}{3} *\begin{bmatrix}-1&1\\2&-2 \end{bmatrix}\\\\\\=\dfrac{2^{n+1}}{3} *\begin{bmatrix}2&1\\2&1\\\end{bmatrix} +\dfrac{(-1)^{n+1}}{3} *\begin{bmatrix}1&-1\\-2&2 \end{bmatrix}\\\\[/tex]
