MALOUSAM1
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Bonjour,

J'ai besoin d'aide pour mon devoir maison de mathématiques dont voici l'énoncé :

Une usine automobile construit des pièces pour des moteurs grâce à une machine qui ne peut réaliser plus de 1000 pièces par mois. Le coût de fabrication par mois, en centaines d'euros, de x centaines de moteurs est déterminée grâce à la fonction f définie sur [0;10] par f(x) = x+3-e^-x+0,5

1) Démontrer que la fonction f est strictement croissante sur [0;10].
2) Le prix d'une pièce fabriquée par cette machine s'élève à 2€.
a) Exprimer en fonction de x, la recette perçue pour la vente de x centaines de pièces.
b) Montrer que le bénéfice obtenu, en centaines d'euros, par la vente de x centaines de pièces est donnée par : B(x)=x-3+e^-x+0.5.
3) Pour tout x dans [0;10], calculer B'(x).
4) Résoudre dans l'intervalle [0;10], l'inéquation 1-e^-x+0.5≥0
5) En déduire le signe de B'(x) sur l'intervalle [0;10] et dresser le tableau de variations de la fonction B sur cet intervalle.
6) a) Montrer que l'équation B(x)=0 admet une unique solution β sur l'intervalle [1;10].
b) Donner un encadrement de β à 10^-2 près par la méthode de votre choix.
c) Déterminer pour quelles quantités de pièces produites et vendues par mois cette usine dégage un bénéfice.

Merci d'avance !

Sagot :

Réponse :

Elles sont souvent dans les questions. Il faut connaître  la dérivée de e^u(x) qui est u'(x)*e^u(x).

Explications étape par étape

1)f(x)=x+3-e^(-x+0,5)  et avec des (  )

Pour démontrer que f(x) est strictement croissante il suffit de démontrer que sa dérivée est strictement >0

f'(x)=1+e^(-x+0,5)  la fonction e^(u(x)) étant toujours>0 f'(x) est >0 donc f(x) est strictement croissante.

2) la recette R(x) =2x   (en centaines d'€)

le bénéfice B(x)=R(x)-f(x)  (recette -coût de fabrication

B(x)=2x-[x+3-e^(-x+0,5)] =x-3+e^(-x+0,5)

3) dérivée de B(x)

B'(x)=1-e^(-x+0,5)

B'(x)=0 pour  e^(-x+0,5)=1 soit -x+0,5=0 car e^0=1

solution x=0,5

Tableau de signe de B'(x) et de variations de B(x) sur [0; 10]

x    0                           0,5                                10

B'(x)........-.......................0............+.........................

B(x)B(0)....décroi..........B(0,5)........croi..............b(10)

B(0)=-3+e^0,5=-3+rac e =......valeur<0  (calculette)

B(0,5)=0,5-3+e^0=-1,5

B(10)=10-3+e^(-10+0,5)=+.......valeur >0 (caculette)

6-a) Sur [0; 0,5] B(x) est  continue, monotone et toujours <0

 sur [0,5; 10]  B(x) est  une fonction monotone et continue qui passe d'une valeur <0 à une valeur >0 d'après le TVI il existe une et une seule  valeur "beta" telle B(béta)=0

b) détermine cette valeur "béta" par encadrement

B(2)=2-3+e^-1,5=-1+e^-1,5=......valeur<0

B(3)=3-3+e^-2,5=e^-2,5 (valeur>0)

donc 2<beta<3 reserre l'encadrement à 10^-2  avec ta calculatrice.

c) l'entreprise réalise des bénéfices si elle fabrique et vend un un nombre de pièces compris entre ]béta*10²; 1000]