Réponse : Bonjour,
On calcule la fonction dérivée f':
[tex]f'(x)=3x^{2}+2mx+3[/tex].
f est croissante si et seulement si [tex]f'(x) > 0[/tex], donc:
[tex]3x^{2}+2mx+3 > 0[/tex].
On étudie le signe de ce trinôme du second degré.
On calcule le discriminant [tex]\Delta[/tex]:
[tex]\Delta=(2m)^{2}-4 \times 3 \times 3=4m^{2}-36=(2m-6)(2m+6)[/tex].
On effectue le tableau de signes de [tex]\Delta[/tex]:
m -∞ -3 3 +∞
2m-6 - - Ф +
2m+6 - Ф + +
Δ + Ф - Ф +
Pour [tex]m \in ]-\infty;-3[ \cup ]3;+\infty[, \Delta > 0[/tex], donc dans ce cas, le trinôme est positif à l'extérieur de ses racines qui sont:
[tex]x_{1}=\frac{-2m-\sqrt{(2m-6)(2m+6)}}{6}\\x_{2}=\frac{-2m+\sqrt{(2m-6)(2m+6)}}{6}[/tex].
Donc pour [tex]m \in ]-\infty;-3[ \cup ]3;+\infty[ [/tex], le trinôme est positif, pour [tex]x \in ]-\infty;x_{1}[ \cup ]x_{2};+\infty[[/tex], donc pas sur [tex]\mathbb{R}[/tex], tout entier.
Pour [tex]m \in \{-3;3\}, \Delta=0[/tex], donc [tex]f'(x)=3x^{2}+2mx+3 > 0[/tex], pour tout [tex]x \ne \frac{-2m}{6}=-\frac{1}{3}m[/tex]. Donc dans ce cas, f n'est pas croissante sur [tex]\mathbb{R}[/tex], tout entier, car par exemple, pour m=-3, f'(x) s'annule pour [tex]x=-\frac{1}{3} \times (-3)=1[/tex]. f a donc une tangente horizontale pour x=1, quand m=-3.
Pour [tex]m \in ]-3;3[, \Delta < 0[/tex], donc le trinôme [tex]3x^{2}+2mx+3 > 0[/tex], pour tout [tex]x \in \mathbb{R}[/tex], et par suite [tex]f'(x) > 0[/tex].
Donc pour [tex]m \in ]-3;3[[/tex], f est croissante sur [tex]\mathbb{R}[/tex], tout entier.
Donc les différentes valeurs de m tels que f est croissante est [tex]m \in ]-3;3[[/tex].