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bonjour, j'ai un dm a rendre pour la rentrée composé de 3 exercices
Un des trois exercices me pose problème parce que je ne comprends pas .
Voici l'exercice dans sa totalité:
1) soit f une fonction vérifiant f(ab)=f(a)+f(b) pour tous reels a et b de son ensemble de définition.
montrer que si f est définie en 0 alors f est nulle.
(P)pour tous réels a et b de ]0;+inf[ ,f(ab)=f(a)+f(b)
2)a) Soit f une fonction définie et dérivable sur]0;+inf[ vérifiant la propriété (P).Démontrer que f(1)=0
b) soit g la fonction définie sur ]0;+inf[ par g(x)=f(ax) avec a E ]0;+inf[.
Justifier que la fonction g est dérivable sur ]0;+inf[ et montrer que g'(x) = af'(ax)=f'(x)
c)En déduire que pour tout réel a strictement positif , f'(a) = k/a avec k=f'(1)
3)Réciproquement on considere une fonction f definie et derivable sur ]0;+inf[, dont la dérivée est définie par f'(x)=k/x avec k >0 et telle que f'(1) et f(1) = 0
a)on definit sur l'intervalle ]0;+inf[ la fonction g par : g(x)=f(ax) -f(x) avec a E ]0;+inf[.
Justifier que la fonction g est derivable et montrer que g'(x)=0 pour tout x E ]0;+inf[.
b) en déduire que la fonction g est constante .
c) Sachant que f(1) = 0, calculer la valeur de g(x) et en déduire que f verifie la propriété (P).
Merci d'avance pour votre aide .

Sagot :

Bonjour ;

1.

Si f est définie en 0 ,

alors pour tout x appartenant à l'ensemble de définition de ,

on a : f(0) = f(0 * x) = f(0) + f(x) ;

donc : f(x) = 0 ;

donc f est la fonction nulle .

2.

a.

On a : f(1) = f(1 * 1) = f(1) + f(1) = 2 f(1) ;

donc : f(1) = 0 .

b.

Soit h la fonction définie sur ]0 ; + ∞[[ par h(x) = ax .

On a donc : h(]0 ; + ∞[) = ]0 ; + ∞[ et h dérivable sur ]0 ; + ∞[ .

On a aussi f est dérivable sur ]0 ; + ∞[ = h(]0 ; + ∞[) ;

donc : g = foh est dérivable sur ]0 ; + ∞[ et on a : g ' = (f ' o h) h' ;

donc pour tout x appartenant à ]0 ; + ∞[ on a :

g ' (x) = f ' (h(x)) * h ' (x) = f ' (ax) * a car h ' (x) = (ax)' = a .

g ' est indépendante de a , donc si on prend a = 1 ,

on a : g ' (x) = 1 * f ' (1 * x) = f ' (x) .

c.

Si on prend x = 1 , on a : a * f ' (a * 1) = f ' (1) = k ;

donc : f ' (a) = k/a .