Réponse :
Partie A
f(x) = (- 1 + 2 x)² - (3 - 6 x)(1 - x)
1) montrer en développant que: f(x) = - 2 x² + 5 x - 2
f(x) = (- 1 + 2 x)² - (3 - 6 x)(1 - x) = 1 - 4 x + 4 x² - (3 - 3 x - 6 x + 6 x²)
= 1 - 4 x + 4 x² - (3 - 9 x + 6 x²)
= 1 - 4 x + 4 x² - 3 + 9 x - 6 x²
f(x) = - 2 x² + 5 x - 2
2) montrer à l'aide d'une factorisation que: f(x) = (1 - 2 x)(x - 2)
f(x) = (- 1 + 2 x)² - (3 - 6 x)(1 - x)
= (- 1 + 2 x)² + 3(- 1 + 2 x)(1 - x)
= (- 1 + 2 x)(- 1 + 2 x + 3(1 - x))
= (- 1 + 2 x)(- 1 + 2 x + 3 - 3 x)
= (- 1 + 2 x)( - x + 2)
= ( - (1 - 2 x))(- (x - 2))
f(x) = (1 - 2 x)(x - 2)
3) montrer que pour tout réel x : f(x) = - 2(x - 5/4)² + 9/8
f(x) = - 2 x² + 5 x - 2 , la forme canonique de f(x) s'écrit f(x) = a(x - α)² + β
avec a = - 2
α = - b/2a = - 5/- 4 = 5/4
β = f(α) = f(5/4) = - 2(5/4)² + 5(5/4) - 2
= - 25/8 + 25/4 - 2
= - 25/8 + 50/8 - 16/8 = - 41/8 + 50/8 = 9/8
on obtient f(x) = - 2(x - 5/4)²+ 9/8
Partie B ; choisir la forme la plus adaptée pour répondre aux questions suivantes:
1) calculer f(1/2) et f(5/4)
on choisit la forme factorisée pour calculer f(1/2)
f(x) = (1 - 2 x)(x - 2) ; f(1/2) = (1 - 2(1/2))((1/2) - 2) = 0
pour calculer f(5/4) on choisit la forme canonique f(x) = - 2(x - 5/4)²+9/8
f(5/4) = - 2(5/4 - 5/4)² + 9/8 = 9/8
2) montrer que f(√2) = 5√2 - 6
on choisit la forme développée de f(x) = - 2 x² + 5 x - 2
f(√2) = - 2(√2)² + 5√2 - 2
= - 4 + 5√2 - 2
= 5√2 - 6
3) résoudre dans R les équations
3.a (E1) : f(x) = 0 on choisit la forme factorisée de f(x)
f(x) = (1 - 2 x)(x - 2) = 0 ⇔ 1 - 2 x = 0 ⇔ x = 1/2 ou x - 2 = 0 ⇔ x = 2
(E1) : S = {1/2 ; 2}
3.b (E2): f(x) = 9/8 , on choisit la forme canonique de f(x)
f(x) = - 2(x - 5/4)²+9/8 = 9/8 ⇔ - 2(x - 5/4)² = 0 ⇔ (x - 5/4)² = 0
⇔ x = 5/4 solution double ⇔ (E2): S = {5/4}
3.c (E3): f(x) = (x - 2) on choisit la forme factorisée de f(x)
f(x) = (1 - 2 x)(x - 2) = (x - 2) ⇔ (1 - 2 x)(x - 2) - (x - 2) = 0
⇔ (x - 2)(1 - 2 x - 1) = 0 ⇔ - 2 x(x - 2) = 0 ⇔ x = 0 ou x - 2 = 0 ⇔ x = 2
⇔ E3) : S = {0 ; 2}
Explications étape par étape
