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Bonjour ! Je voudrais de l'aide sur le sujet suivant:
On partage un pré triangulaire selon le schéma suivant :    On a (BC) // (MN). De plus on sait que AB = 200 m et BC = 150 m. On note x = MN. 1 . ) Exprimer AM en fonction de x (en mètres). 2 . ) Exprimer l'aire du triangle AMN en fonction de x (en mètres carrés). 3 . ) Calculer l'aire du triangle ABC, puis exprimer l'aire du quadrilatère BCNM en fonction de x (en mètres carrés) 4 . ) Déterminer la valeur de x pour partager ce pré en deux parties de même aire.

Sagot :

LOULAKAR
Bonjour,

On partage un pré triangulaire selon le schéma suivant :
• On a (BC) // (MN).
• De plus on sait que AB = 200 m et
• BC = 150 m.
• On note x = MN.

1) Exprimer AM en fonction de x (en mètres).

Dans le triangle ABC, les droites (AB) et (CA) sont sécantes en A. Les droites (BC) et (MN) sont parallèles donc on peut utiliser le théorème de thales qui dit que :

AM/AB = AN/AC = MN/BC

Donc on utilise l’égalité :
AM/AB = MN/BC
AM = MN * AB / BC
AM = 200x/150
AM = 4x/3
AM ~ 1,333x mètres

2) Exprimer l'aire du triangle AMN en fonction de x (en mètres carrés).

Si on trace la hauteur partant de A, alors on peut déterminer la hauteur du triangle ABC.
Pour cela, on place le point O qui coupe le milieu du segment MN en son milieu.

Dans le triangle rectangle AMO, on peut utiliser le théorème de pythagore :

MO^2 + OA^2 = AM^2
OA^2 = AM^2 - MO^2
OA^2 = (4x/3)^2 - (x/2)^2
OA^2 = (4x/3 - x/2)(4x/3 + x/2)
OA^2 = (8x/6 - 3x/6)(8x/6 + 3x/6)
OA^2 = (5x/6)(11x/6)
OA = V(55x^2/36)
OA = x/6 * V55

Aire = (base * hauteur)/2
A = (x * x/6 * V55)/2
A = x^2/12 * V55 m^2

3) Calculer l'aire du triangle ABC, puis exprimer l'aire du quadrilatère BCNM en fonction de x (en mètres carrés)

On détermine la hauteur AO’, O’ coupe BC en son centre :

Dans le triangle rectangle AOB, on utilise le théorème de pythagore :

AO’^2 = AB^2 - BO^2
AO’^2 = 200^2 - (150/2)^2
AO’^2 = 56875
AO’ = V56875
AO’ ~ 238,5 m

Aire = 150 * 238,5 / 2
A ~ 17887,5 m^2

Aire de BCNM = aire ABC - aire AMN
A = 17887,5 - x^2/12 * V55 m^2

4) Déterminer la valeur de x pour partager ce pré en deux parties de même aire.

On veut que l’aire BCNM = aire AMN

17887,5 - x^2/12 * V55 = x^2/12 * V55
17887,5 = x^2/6 * V55
x^2 = 17887,5 * 6 / V55
x^2 ~ 14472
x ~ 120,3 m