on donne quatre équations cartésiennes de droites:
x-3y+14=0
2x+3y+1=0
2x+3y-17=0
x-3y-4=0
1) prouver que ces quatre droites forment un vrai parallélogramme. (on appelle vrai parallélogramme un parallélogramme qui a ses cotés opposés non confondus)
2)Donner les équations cartésiennes de deux droites qui:
-sont paralléles au côtés,
-passent par le centre du parallélogramme.
En déduire les coordonées du centre de ce parallélogramme.
3) faire une figure.
d1 : x-3y+14=0 => y=x/3+14/3
d2 : 2x+3y+1=0 => y=-2x/3-1/3
d3 : 2x+3y-17=0 => y=-2x/3-17/3
d4 : x-3y-4=0 => y=x/3-4/3
1)Dans un parallélogramme les droites formant les côtés sont parallèles 2 à 2
or 2 droites d'équation di : y=aix+bi sont parallèles si et seulement si leur coefficient directeur ai sont égaux
a1=a4=1/3 d'où d1//d4 et a2=a3 =-2/3 d'où d2//d3
Dans un parallélogramme les droites di formant les côtés parallèles 2 à 2 ne doivent pas être confondues donc avoir une ordonnée à l'origine bi différentes
d1//d4 et 14/3≠-4/3 d'où b1≠b4 donc d1 et d4 non confondues
d2//d3 et -1/3≠-17/3 d'où b2≠b3 donc d1 et d4 non confondues
En conclusion, d1//d4 et non confondues, d2//d3 et non confondues
donc d1, d2, d3, d4 forment un parallèlogramme
2)équations de 2 droites d5 et d6 // aux côtés du parallèlogramme
si d5//d1 alors elles ont même coefficient directeur ai
on sait que a1=1/3 donc a5 doit être égal à 1/3 d'où par ex d5 : y=x/3
si d6//d2 alors elles ont même coefficient directeur ai
on sait que a2=-2/3 donc a6 doit être égal à -2/3 d'où par ex d6 : y=-2x/3
équations de 2 droites d7 et d8 passant par le centre du parallèlogramme
d7//d1 et d4 passant le centre du parallélogramme aura même coefficient directeur ai d'où a7=a1=a4=1/3 et passera également au milieu des 2 ordonnées à l'origine bi d'où b7=(b1+b4)/2
on a donc a7=1/3 et b7=(14/3-4/3)/2)=10/6=5/3 d'où d7 : y=x/3+5/3
d8//d2 et d3 passant le centre du parallélogramme aura même coefficient directeur ai d'où a8=a2=a3=-2/3 et passera également au milieu des 2 ordonnées à l'origine bi d'où b8=(b2+b3)/2
on a donc a8=-2/3 et b8=(-1/3-17/3)/2)=-18/6=-3 d'où d8 : y=-2x/3-3
soit M centre du parallélogramme donc M∈d7 et d8
on a M(xM;yM) vérifie d7 et d8
donc M∈d7 => yM=xM/3+5/3 et M∈d8 => yM=-2xM/3-3
d'où xM/3+5/3=-2xM/3-3
xM/3+2xM/3=-5/3-3
3xM/3=-5/3-9/3
xM=-14/3 et yM=(-14/3)/3+5/3=-14/9+15/9=1/9 donc M(-14/3;1/9)