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Un rectangle ABCD AB= x l'air 12cm² on note p(x) son perimetre
1 : preciser pour quelles valeurs de x la construction est possible ? 

2 : Faire une figure dans le cas particulier x=3cm donner la valeur de p(3)
3 : Exprimer en fonction de x les longueurs des cotés de ABCD

4 : en deduire l'expression de p(x)

5 : montrer que pour tous nombre a et b strictement positif on a : 
                                         p(b)-p(a) = 2(b-a) (1-12/ab)
 

6 : En deduire que la fonction p est décroissante sur ] 0;v^ 12] et croissante sur [ v^12+ oo+[. Faire une tableau de variation 
7 : Pourquelle valeur de x le perimetre de ABCD est il minimal ? que peut on dire du rectangle ABCD dans ce cas ? 

Ex 2
On se donne un rectangle ABCD. on note A son aire et p son perimetre . en vous inspirant de l'exercice precedent, demontrez que p est superieur ou egale   a 4 v^A. pour quels rectangles a t-on p = 4v^A ?

 

Sagot :

Ex1

Aire(ABCD)=x*BC=12cm² => BC=12/x

et p(x)=2x+2BC=2(x+BC)=2(x+12/x)=2(x²+12)/x

p(x) existe <=> x>0

 

p(3)=2(3²+12)/3=2(9+12)/3=42/3=14

 

p(a)=2(a²+12)/a et p(b)=2(b²+12)/b

p(b)-p(a)=2(b²+12)/b-2(a²+12)/a=[2a(b²+12)-2b(a²+12)]/ab

=[2ab²+24a-2a²b-24b]/ab=2[ab²-a²b+12a-12b]/ab=2[ab(b-a)-12(b-a)]/ab

=2(b-a)(ab-12)/ab=2(b-a)(ab/ab-12/ab)=2(b-a)(1-12/ab)=p(b)-p(a)

 

6)p(b)-p(a)=0 <=> a=b=√12

d'où si 0<a<b<√12 alors b-a>0 et 1-12/ab<0 d'où p(b)-p(a)<0 donc p(b)<p(a)

=> p est décroissante sur ]0;√12]

si √12<a<b alors b-a>0 et 1-12/ab>0 d'où p(b)-p(a)>0 donc p(b)>p(a)

=> p est croissante sur [√12;+infini[

 

7)on vient de démontrer que p est décroissante sur ]0;√12] et est croissante sur [√12;+infini[ donc p admet un minimum pour x=√12

p(√12)=2(√2²+12)/√2=2(2+12)/√2=28/√2=14√2

ABCD est un rectangle dont l'aire est de 12cm² et le périmètre de 14√2cm

 

Ex2

p=4√A d'où 2(x²+12)/x=4√12

2(x²+12)=(8√3)x

x²+12=(4√3)x

x²-(4√3)x+12=0 est de la forme ax²+bx+c=0

∆=b²-4ac=(4√3)²-4(1)(12)=48-48=0 donc ∆=0 => 1 solution double x₁ et x₂

x₁=x₂=-b/2a=-(-4√3)/2=2√3

comme AB=x=2√3 alors BC=12/2√3=6/√3=2x3/√3=2(√3)²/√3=2√3

d'où AB=BC=2√3 donc ABCD est un carré lorsque p=4√A