x appartient à ]1,+infini[, f(x)=(x²+2x+3)/(x-1) et g(x)=ax+b+c/(x-1)
Déterminons a,b,c tels que f=g
g(x)=ax+b+c/(x-1) : on résoud au même dénominateur qui est x-1
g(x)=[ax(x-1)+b(x-1)+c]/(x-1)=[ax²-ax+bx-b+c]/(x-1)=[ax²+(b-a)x+(c-b)]/(x-1)
comme f=g alors (x²+2x+3)/(x-1)=[ax²+(b-a)x+(c-b)]/(x-1)
donc x²+2x+3=ax²+(b-a)x+(c-b)
d'où a=1, b-a=2 et c-b=3
on remplace et on trouve a=1, b=2+a=2+1=3 et c=3+b=3+3=6
donc g(x)=x+3+6/(x-1)
