Bonsoir,
I
1)
a)
[tex]C\left(0\right) = 259+0{,}2 \times \sqrt{900} = 259 +0{,}2 \times 30 = 265[/tex]
b)
[tex]C\left(4000\right) = 259+0{,}2 \sqrt{900+4000} \\
C\left(4000\right) = 259 + 0{,}2\sqrt{4900}\\
C\left(4000} = 259 +0{,}2 \times 70 = 259+14 = 273[/tex]
Le coût moyen de fabrication d'une unité s'obtient en divisant le coût de production par le nombre d'unités produites :
[tex]\frac{273}{4000} = 0{,}06825[/tex]
La question 2) est admise : en effet, la fonction racine carrée est croissante et le radicande augmente quand la valeur de x augmente, donc la fonction résultante est croissante, puisqu'on ajoute une valeur constante à la racine carrée.
3)
a)
Cela revient à écrire :
[tex]259+0{,}2\sqrt{900+x} \leq 300\\
0{,}2 \sqrt{900+x} \leq 300-259\\
0{,}2 \sqrt{900+x} \leq 41\\
\sqrt{900+x} \leq 205\\[/tex]
On sait que x est positif, donc on peut écrire :
[tex]900+x \leq 205^2\\
900+x \leq 42025\\
x \leq 41125[/tex]
b)Comme la fonction C(x) est croissante sur son ensemble de définition, on peut produire jusqu'à 41125 corps de stylo pour un coût de production inférieur ou égal à 300€.
c)Le coût moyen d'une unité fabriquée est donc :
[tex]\frac{300}{41125} = 0{,}00729483282[/tex]
II
1)Tu as sans doute réussi à tracer le graphe sur ta calculatrice.
Pour ma part, je trouve que H est située au-dessus de l'axe des abscisses pour x > 1/2(environ).
2)L'hyperbole est située au-dessus de l'axe des abscisses si et seulement si on a y > 0, autrement dit :
[tex]\frac{2x-1}{x-3} \geq 0[/tex]
On réalise un tableau de signe (en PJ, j'espère que c'est lisible ^^).
Oui, la conjecture du 1) est vérifiée.
3)D serait située au-dessus de H pour x < 3 et en-dessous pour x > 3.
4)Il s'agit de déterminer l'ensemble des abscisses pour lesquelles l'ordonnée du point de H est supérieure à celle de D, cela revient à résoudre :
[tex]\frac{2x-1}{x-3} \geq -5x+7\\
\frac{2x-1}{x-3} +5x -7 \geq 0\\
\frac{2x-1+\left(x-3\right)\left(5x-7\right)}{x-3} \geq 0\\
\frac{ 5\left(x-2\right)^2}{x-3} \geq 0
[/tex]
On sait que, quelle que soit la valeur de x, (x-2)² est supérieur ou égal à 0. Donc le signe dépend uniquement de x-3, qui est positif pour x >3 et négatif sinon.
L'hyperbole se trouve au-dessus de la droite quand la différence est positive, donc quand x > 3 ; elle se situe en-dessous de la droite D quand x < 3. La conjecture est vérifiée.
Si tu as des questions, n'hésite pas! =)
