Bonsoir
a) Par Pythagore dans le triangle rectangle mMm', nous avons :
[tex]mM^2+m'M^2=mm'^2[/tex]
Par Pythagore dans le triangle rectangle m'mK, nous avons :
[tex]m'K^2=mm'^2+mK^2\Longrightarrow mm'^2=m'K^2-mK^2[/tex]
Par conséquent : [tex]mM^2+m'M^2=m'K^2-mK^2[/tex]
Si les coordonnées du point M sont (x ; y), alors l'égalité précédente peut s'écrire :
[tex]y^2+x^2=(y+1)^2-(x^2+1^2)\\\\y^2+x^2 = (y^2+2y+1)-(x^2+1)\\\\y^2+x^2 = y^2+2y+1-x^2-1\\\\y^2+x^2 = y^2+2y-x^2\\\\y^2-y^2+x^2+x^2 = 2y\\\\2x^2=2y\\\\y=x^2[/tex]
b) et c) Voir constructions et graphique en pièce jointe.
d) Si l'abscisse du point Q est p, alors son ordonnée est p².
Si l'abscisse du point R est -p, alors son ordonnée est (-p)² = p².
Donc Q (p ; p²) et R (-p ; p²)
Par conséquent, deux points Q et R situés à égales distance de l'axe des ordonnées ont des ordonnées égales.
Dès lors, ces deux points sont symétriques par rapport à l'axe des ordonnées.
