résolvons l'inéquation 1/2 <=x/(x+1) <=1 x/(x+1) >=1/2 => x/(x+1) - 1/2 >=0 => (2x - x - 1)/(x+1) >=0 => (x-1)/(x+1) >= 0 par un tableau de signes (ou le signe du trinôme du second degré) on trouve il faut x <= -1 ou x>=1 et x/(x+1) <=1 => x/(x+1) -1 <= 0 => (x - x - 1)/(x+1) <=0 => -1/(x+1) <= 0 ou 1/x+1 > 0 ce qui équivaut à x >-1 en combinant les deux conditions on trouve x>= 1
Démontrer que pour tout réel x >=1 on a :
1/2 <=x/(x+1) <=1 on pose f(x)=x/(x+1) alors f(x)=(x+1-1)/(x+1)=1-1/(x+1) donc f'(x)=1/(x+1)² donc f est croissante sur [1;+inf[ ainsi f(x)<=f(1) donc f(x)<=1/2 de plus lim(f,+inf)=1 donc f(x)<1 ainsi : 1/2<=f(x)<1
