Answered

Bonjour, je suis en TS et j'ai un exo de maths à faire sur les limites et les croissances comparées... mais je n'arrive à rien dessus.

On cherche à établir pour tout n∈N [tex] \lim_{x \to +\infty} e^x/x^n = + l'infini[/tex]
et [tex] \lim_{x \to -\infty} x^ne^x =0 [/tex]

1) Montrer que pour tout entier naturel non nul : e^x/x^n = (1/n^n) * ((e^x/n)/(x/n))^n
2) En déduire [tex] \lim_{x \to +\infty} e^x/x^n = + l'infini[/tex]
3) En utilisant le résultat précédent, montrer que [tex] \lim_{x \to -\infty} x^ne^x =0[/tex]

Voilà et comme je ne sais pas comment répondre à la 1ere question, impossible de faire l'exercice... pouvez-vous me donner un coup de main svp ?

Sagot :

1) e^x/x^n
=(e^(x/n))^n/(x^n)
=(e^(x/n))^n/((x/n)^n)*(1/n)^n
=(1/n)^n*(e^(x/n)/(x/n))^n

2) on pose X=x/n
donc e^x/x^n=(1/n)^n*(e^X/X)^n
si x tend vers +inf alors X tend vers + inf
donc e^X/X tend vers +inf (cf Cours)
donc par produit avec K=(1/n)^n (constante)
on a e^x/x^n tend vers +inf

3) on pose Y=-x
donc x^n*e^x=(-Y)^n*e^(-Y)=-Y^n/e^Y
si x tend vers -inf alors Y tend vers +inf
or e^Y/Y^n tend vers +inf
donc Y^n/e^Y tend vers 0
ainsi si x tend vers -inf
alors x^n*e^x tend vers 0