C'est encore pour le problème du segond degré.
PROBLEME
Un confiseur vend actuellement ces macaron au prix de 18€ la boite de 10. Chaque jour, son volume de vente est de 200 boites
PARTIE 1 Dans le but d'augmenter son chiffre d'affaire, il a remarqué qu'une baisse de x% du prix de ses boites fait augmenter de 1,5x% le volume de ses ventes journalières, où x est un nombre réel compris entre 0 et 100. On souhaite aider ce confiseur à optimiser son chiffre d'affaire.
1)Exprimer le prix d'une boite de 10 macarons et le volume de ses ventes journalières en fonction de x.
2)En déduire une expression développé de la fonction f représentative du chiffre d'affaire du confiseur sur une journée.
3) Donner le forme canonique du chiffre d'affaire de ce confiseur, puis en déduire le maximum de ce chiffre d'affaire.
4) Aider le confiseur à prendre une décision.
1) p(x) = 18(1-x/100) et v(x) = 200(1+(15x/1000))
2) f(x) = p(x) * v(x)
= 18(1-x/100) * 200(1+(15x/1000))
= 3600(1-x/100)(1+(15x/1000))
= (3600 - 36x)(1+(15x/1000))
= 3600 + 54x - 36x - 54x²/100
= -54x²/100 + 18x + 3600
3)
= -54x²/100 + 18x + 3600
= (-54/100)*(x² - 1800x/54 - 20000/3)
= (-54/100)*(x² - 100x/3 - 20000/3)
x² - 100x/3 - 20000/3
proche de (x - 50/3)² = x² - 100x/3 + 2500/9
donc x² - 25x - 12500
= (x - 50/3)² - 2500/9 - 20000/3
= (x - 50/3)² - 2500/9 - 60000/9
= (x - 50/3)² - 62500/9
donc le forme canonique de f(x) est :
(-54/100)*[(x - 50/3)² - 62500/9]
le maximum sera quand (x - 50/3)² sera nul donc avec x = (50/3)% = 16,67%
4)
Cher confiseur si vous choisissez un pourcentage de 16,67% de baisse du prix de vos boites vous aurez un chiffre d'affaire de 3750 €/jour au lieu de 3600€/jour, vous gagnez ainsi 150€ de plus chaque jour qui en un mois fera en gain de 150*30 = 4500 € de plus qu'avant par mois.
calculer ainsi :
p(16,67) = 18*(1-(50/300)) = 15 €
v(16,67) = 200*(1+(15*(50/3000))) = 250 boites
f(16,67) = p(16,67) * v(16,67) = 15 * 250 = 3750 €/jour
actuellement : le chiffre d'affaire est de 18 * 200 = 3600 €/jour
En espérant t'avoir aidé.