1) a) ABCF a 4 faces, 6 arêtes. Ce solide s'appelle un tétraèdre.
Patron de ABCF voir fichier joint les lignes rouges te donne le patron du tétraèdre
b) volume de ABCF si l'arête a = 4 cm
ABCF est une pyramide donc V = 1/3 * aire de la base * hauteur
La base est ABC donc aire ABC = AB*BC/2 (* signifie multiplié par) et la hauteur BF or AB=BC=BF=a=4
V = 1/3 * BF * AB*BC/2
V = 1/3 * 4*4*4/2
V = 1/3 * 16*2
V = 32/3
V = 10.67 cm cube
c) Dans le triangle ACF :
Les trois cotés AC, AF et FC sont les diagonales de trois faces du cube ABCDEFGH. Ces trois faces sont identiques et sont des carrés de cotés a donc AC, AF et FC ont même longueur. ACF est don un triangle équilatéral.
Le triangle ABC est rectangle en B donc d'après le théorème de Pythagore
AC² = AB²+BC²
or AB=BD=a
AC² = a²+a²
AC² = 2a²
d'où AC = aV2 (V se lit racine carré de)
Calcul de l'aire de ACF (noté A) si a=4
A = base * hauteur /2
Prenons AC comme base.
Calcul de la hauteur de ACF (noté Fh)
Le triangle FhC est rectangle en h donc d'après le théorème de Pythagore
FC² = hC²+Fh²
or hc = AC/2 = 4V2/2 = 2V2
(4V2)² = (2V2)² + Fh²
d'où
Fh² = (4V2)² - (2V2)²
Fh² = 16*2 - 4*2
Fh² = 32 - 8
Fh² = 24
Fh² = 6*4
Fh = V(6*4)
Fh = 2V6
donc
A = 4V2 * 2V6 /2
A = 4V(2*6)
A = 4V12
A = 4V(3*4)
A = 2*4V3
A = 8V3
A = 13,86 cm²
Appelons H la hauteur de ABCF issue de B
V = Aire Base * hauteur * 1/3
V = 10.67
Aire base = 13.86
donc
10.67 = 13.86 * H /3
3*10.67 = 13.86 * H
d'où
H = 3*10.67/13.86
H = 2.30 cm
2) Le cube tronqué a 7 sommets, 6 faces : 3 faces carrés et 3 faces en forme de triangle.
Volume du cube tronqué = volume du cube - volume de ABCF
Volume du cube = a*a*a = a^3 (^ se lit puissance)
Volume ABCF = 1/3 *a*a*a/2 = (a^3)/ 6
Volume du cube tronqué = a^3 - (a^3)/6 = (6a^3-a^3)/6 = (5a^3)/6
Volume du cube tronqué = 5 /6 * a^3
Patron du cube tronqué, tu reprends le fichier joint et cet fois tu enlève ce qui est en rouge (le tétraèdre)
