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J'aurai besoin d'aide svp :

 

Dans un repère C orthonormé, on considère les point A(0;1) et M(x;y).M est un point de la droite d d'équation y=x-4.

L'objectif est d'étudier les variations de la distance Am lorsque M parcourt la droite d, et en particulier de déterminer la distance AM minimale.

1°)Exprimer la distance AM en fonction de x.

2°)L'objectif est donc maintenant d'étudier les variations de la fonction:

f:x-->racine carré de 2xau carré-10x+25

a) Justifier que f(x) existe quel que soit le nombre x 

b)

Etablir le tableau de variation de la fonction u définie sur ensemble des R par

u:x-->2x au carré-10x+25

c)Enoncer le théoréme qui permet de deduire des variations de u celles de f .

d)En déduire la valeur minimale de la distance AM.

Merci d'avance !:)

Sagot :

Bonsoir,

1°) A(0 ; 1) et M(x ; x-4)

[tex]AM=\sqrt{(x_M-x_A)^2+(y_M-x_y)^2}\\\\AM=\sqrt{(x-0)^2+[(x-4)-1]^2}\\\\AM=\sqrt{x^2+(x-5)^2}\\\\AM=\sqrt{x^2+x^2-10x+25}\\\\AM=\sqrt{2x^2-10x+25}[/tex]

2°) a) [tex]f(x) \in R \Longleftrightarrow 2x^2-10x+25\ge0\\\\\Delta=(-10)^2-4\times2\times25\\\\\Delta=100-200\\\\\Delta=-100<0[/tex]

Donc 2x² - 10x + 25 est toujours du signe du coefficient de x² pour tout x réel,

soit 2x² - 10x + 25 > 0 pour tout x réel.

Par conséquent  f(x) existe quel que soit le nombre x réel.

b) u(x) = 2x² - 10x + 25

La fonction u admet un minimum si x = [-b/(2a)] = -(-10)/(2*2) = 10/4 = 5/2 = 2,5.

Ce minimum vaut u(2,5) = 2*(2,5)² - 10*2,5 + 25 = 12,5 - 25 + 25 = 12,5.

[tex]\begin{array}{|c|ccccc|}x&-\infty&&\dfrac{5}{2},5&&+\infty \\ u(x)=2x^2-10x+25&&\searrow&\dfrac{25}{2}=12,5&\nearrow&\\ \end{array}[/tex]

Par conséquent u est décroissante sur ]-inf ; 2.5] et est croissante sur [2.5 ; +inf[

c) La fonction racine carré étant croissante sur [0 ; +inf[, les variations de f sont les mêmes que celles de x, 

soit  f est décroissante sur ]-inf ; 2.5] et est croissante sur [2.5 ; +inf[

d) La valeur minimale de AM est égale à  [tex]\sqrt{\dfrac{25}{2}}=\dfrac{5}{\sqrt{2}}=\dfrac{5\sqrt{2}}{2}\approx 3,5[/tex]