Bonsoir
1) 3 * 4 * 5 * 6 + 1 = 360 + 1 = 361 = 19².
2) Si nous calculions le produit de 4 autres entiers consécutifs, nous pourrions supposer que le résultat serait égal à un carré diminué de 1.
3) 1 + x(x-1)(x+1)(x+2) = 1 + x(x²-1)(x+2)
= 1 + (x^3 - x)(x+2)
= 1 + x^4 + 2x^3 - x^2 - 2x
= x^4 + 2x^3 - x^2 - 2x + 1
(x² + x - 1)² = (x² + x - 1)(x² + x - 1)
= x^4 + x^3 - x^2 + x^3 + x^2 - x - x^2 - x + 1
= x^4 + 2x^3 - x^2 - 2x + 1
Donc 1 + x(x-1)(x+1)(x+2) = (x² + x - 1)²
3) Soit x-1 ; x ; x+1 et x+2 les 4 nombres entiers consécutifs, alors l'égalité précente peut s'écrire : (x-1)x(x+1)(x+2) + 1 = (x² + x - 1)²,
soit (x-1)x(x+1)(x+2) = (x² + x - 1)² - 1, ce qui confirme la conjecture émise en 2).
