Bonsoir,
Partie A
1) AB² + AC² = 4,2² + 5,6² = 49
BC² = 7² = 49
==> AB² + AC² = BC².
Par la réciproque du théorème de Pythagore, le triangle ABC est rectangle en A.
2) Le quadrilatère AMPQ est un parallélogramme ayant un angle droit.
C'est donc un rectangle.
Partie B.
1) Par Thalès dans le triangle ABC, nous avons :
[tex]\dfrac{BM}{BC}=\dfrac{BP}{BA}=\dfrac{PM}{AC}\\\\\dfrac{2,5}{7}=\dfrac{BP}{4,2}=\dfrac{PM}{5,6}[/tex]
D'où : [tex]BP=4,2\times\dfrac{2,5}{7}\Longrightarrow BP=1,5\ cm[/tex]
[tex]PM=5,6\times\dfrac{2,5}{7}\Longrightarrow PM=2\ cm[/tex]
2) L'aire du rectangle APMQ = AP * PM
= (4,2 - 1,5) * 2
= 2,7 * 2 = 5,4 cm²
Partie C.
1) a) Si M et B coïncident, alors x = BM = 0
Si M et C coïncident, alors x = BM = 7
Si M est entre B et c, 0 < x < 7.
Donc 0 ≤ x ≤ 7.
b) L'aire du rectangle APMQ est nulle puisqu'une de ses deux dimensions est nulle dans chaque cas.
2) a ) Par Thalès dans le triangle ABC, nous avons :
1) a) Si M et B coïncident, alors x = BM = 0
Si M et C coïncident, alors x = BM = 7
Si M est entre B et c, 0 < x < 7.
Donc 0 ≤ x ≤ 7.
b) L'aire du rectangle APMQ est nulle puisqu'une de ses deux dimensions est nulle dans chaque cas.
2) a ) Par Thalès dans le triangle ABC, nous avons :
1) a) Si M et B coïncident, alors x = BM = 0
Si M et C coïncident, alors x = BM = 7
Si M est entre B et c, 0 < x < 7.
Donc 0 ≤ x ≤ 7.
b) L'aire du rectangle APMQ est nulle puisqu'une de ses deux dimensions est nulle dans chaque cas.
2) a ) Par Thalès dans le triangle ABC, nous avons :
[tex]\dfrac{BM}{BC}=\dfrac{BP}{BA}=\dfrac{PM}{AC}\\\\\dfrac{x}{7}=\dfrac{BP}{4,2}=\dfrac{PM}{5,6}[/tex]
D'où : [tex]BP=4,2\times\dfrac{x}{7}\Longrightarrow BP=0,6x[/tex]
[tex]PM=5,6\times\dfrac{x}{7}\Longrightarrow PM=0,8x[/tex]
b) AP = AB - BP = 4,2 - 0,6x.
3) APMQ est un rectangle si PM = AP
0,8x = 4,2 - 0,6x
1,4x = 4,2
x = 0,3.
4) A(x) = AP * PM
A(x) = (4,2 - 0,6x) * 0,8x
A(x) = 4,2 * 0,8x - (0,6x) * (0,8x)
A(x) = 3,36x - 0,48x²
4)a) A(1) = 3 et A(6) = 3
Les valeurs de x pour lesquelles l'aire du rectangle APMQ vaut 3 cm² sont x = 1 (cm) et x = 6 (cm).
b) L'aire du rectangle est maximale si x = 3,5 (cm).
Le point M est alors au milieu du segment [BC].
L'aire du rectangle vaudra : A(3,5) = 3,36*3,5 - 0,48*(3,5)² = 5,88 cm².
