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Soit la fonction f définie sur ] - 2 ; + l'infini [ par f(x) = x+4/x+2 ; soit h un réel non nul tel que 2+h reste dans l'intervalle ] - 2 ; + l'infini [
a) Calculer le taux d'accroissement de f entre 2 et 2 + h
b) calculer le nombre dérivé de f en 2

Sagot :

Bonsoir,

[tex]f(x)=\dfrac{x+4}{x+2} [/tex]

Calcul du taux d'accroissement t(h)  de f entre 2 et 2 + h.

[tex]t(h)=\dfrac{f(2+h)-f(2)}{h}\\\\t(h)=\dfrac{\dfrac{(2+h)+4}{(2+h)+2}-\dfrac{2+4}{2+2}}{h}\\\\t(h)=\dfrac{\dfrac{h+6}{h+4}-\dfrac{6}{4}}{h}\\\\t(h)=\dfrac{\dfrac{h+6}{h+4}-\dfrac{3}{2}}{h}[/tex]

[tex]t(h)=\dfrac{\dfrac{2(h+6)-3(h+4)}{2(h+4)}}{h}\\\\t(h)=\dfrac{\dfrac{(2h+12)-(3h+12)}{2(h+4)}}{h}\\\\t(h)=\dfrac{\dfrac{2h+12-3h-12}{2(h+4)}}{h}\\\\t(h)=\dfrac{\dfrac{-h}{2(h+4)}}{h} [/tex]

[tex]t(h)=\dfrac{-h}{2h(h+4)}\\\\t(h)=\dfrac{-1}{2(h+4)} [/tex]

b) Nombre dérivé de f en 2 :

[tex]f'(2)=\lim_{h\to 0}t(h)\\\\ f'(2)=\lim_{h\to 0} \dfrac{-1}{2(h+4)}\\\\f'(2)= \dfrac{-1}{2(0+4)}\\\\f'(2)=\dfrac{-1}{8}[/tex]