Bonsoir,
a) Construction faite sur la pièce jointe.
b) Le triangle KPS est isocèle.
en effet : PS = PO car le triangle OPS est équilatéral
PO = KP car KLOP est un carré.
Donc PS = KP et le triangle KPS est isocèle en P.
On sait que [tex]\widehat{PKS}+\widehat{PSK}+\widehat{SPK}=180^o[/tex]
Or [tex]\widehat{SPK}=\widehat{OPK}-\widehat{OPS}=90^o-60^o=30^o[/tex]
[tex]\widehat{PKS}=\widehat{PSK}[/tex] car le triangle KPS est isocèle en P.
Donc [tex]\widehat{PKS}+\widehat{PKS}+30^o=180^o\\\\2\widehat{PKS}=180^o-30^o=150^o\\\\\widehat{PKS}=75^o[/tex]
c) [tex]\widehat{SON}=\widehat{SOL}+\widehat{LON}\\\\avec\ \ \widehat{SOL}=\widehat{POL}-\widehat{POS}=90^o-60^o=30^o\ \ et\ \ \widehat{LON}=60^o[/tex]
D'où [tex]\widehat{SON}=30^o+60^o=90^o[/tex]
Le triangle SON est isocèle et [tex]\widehat{SON}=90^o[/tex]
Par un calcul analogue au b), on montre que [tex]\widehat{OSN}=45^o[/tex]
d) Par Chasles, on sait que [tex]\widehat{KSP}+\widehat{PSO}+\widehat{OSN}=\widehat{KSN}[/tex]
Or [tex]\widehat{KSP}=\widehat{PKS}=75^o[/tex]
Donc
[tex]75^o+60^o+45^o=\widehat{KSN}\\\\\widehat{KSN}=180^o[/tex]
Par conséquent, les points K, S et N sont alignés.
