Bonsoir,
a) Bénéfice B(x) = Recette - Coût total de fabrication
[tex]B(x) = R(x)-C(x)\\\\B(x) = 48x-(50x-0,1x^2+10)\\\\B(x) = 48x-50x+0,1x^2-10\\\\B(x) = 0,1x^2-2x-10[/tex]
b) Résoudre l'inéquation [tex]B(x)\ge0[/tex]
[tex]0,1x^2-2x-10\ge0[/tex]
Discriminant du trinôme : (-2)² - 4 * 0,1 * (-10) = 4 + 4 = 8
Racines du trinôme : environ -4,14 et 24,14.
Tableau de signes :
[tex]\begin{array}{|c|ccccccc|} x&-\infty&&-4,14&&24,14&&+\infty \\ 0,1x^2-2x-10&&+&0&-&0&+&\\ \end{array}[/tex]
Puisque x ≥ 0, le bénéfice sera maximal si x ≥ 24,14, ce qui représente un nombre de jeux vidéos supérieur ou égal à 25 000.
c) [tex]B(x) = 0,1x^2-2x-10[/tex]
[tex]B(x) = 0,1(x^2-20x-100)[/tex]
Or [tex](x-10)^2=x^2-20x+100\Longrightarrow x^2-20x=(x-10)^2-100[/tex]
Donc [tex]B(x) = 0,1[(x-10)^2-100-100][/tex]
[tex]B(x) = 0,1[(x-10)^2-200]\\\\B(x) = 0,1(x-10)^2-20[/tex]
d) La forme canonique de B(x) est [tex]B(x)=a(x-\alpha)^2+\beta[/tex]
Puisque a = 0,1 > 0, la fonction B admet un minimum [tex]\beta[/tex].
Ce minimum est atteint pour [tex]x=\alpha[/tex]
Dans notre cas, le bénéfice sera minimal si x = 10 et ce minimum est égal à -20, ce qui représente un déficit maximal.
Donc, le déficit maximal de l'entreprise est égal à 20 000 € pour une production de 10000 jeux vidéos.
2) Le bénéfice maximal se calcule par B(100) = 0,1(100-10)²-20 = 790.
Ce bénéfice maximal est égal à 790 000 €
