PORZMEILLOU
Answered

Besoin d'aide pour un exercice sur les fonctions... Merci!

Le plan est muni d'un repère orthonormé (O, i, j ) On considère la courbe (C) d'équation y=racine de x et le point A(2;0)On veut déterminer le point de (C) qui est le plus proche de A.
1) Soit M le point de (C) d'abscisse x avec x réel positif 
Exprimer AM en fonction de x
On définit ainsi sur [0;+infini[ une fonction f de la variable x
2 a) Démontrer que f admet un minimum sur [0;+infini[ 
b) En déduire les coordonnées du point M pour lequel la distance AM est minimale et préciser la valeur de ce minimum.

Merci!

Sagot :

Bonsoir,
M(x;racine(x))
A(2;0)
AM²=(x-2)²+x=x²-x+4
AM= racine(x²-x+4)
soit f(x)=x²-x+4= (x-1/2)²+15/4
(x-1/2)²>=0
(x-1/2)²+15/4>=15/4
et f(1/2)=15/4; donc le minimum de f est 15/4 et il est atteint pour x=1/2
La fonction racine carré est strictement croissante, sur 0, +infini, donc le minimum de racine(x²-x+4) est racine(15/4) et il est atteint pour x=1/2