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1)a)Dans un repere orthonorme placer les points:

A(6;1),B(3;5),D(11;1).

b)Quelle est la nature du triangle ABD?Justifier.

 

2)E est le point de coordonnees (17/2;6).

Demontrer que E est le centre du cercle C circonscrit au triangle ABD.

 

3)I est le point d'intersection de (AE) et (BD).

a)Quel role joue (AE) pour le segment [BD]? Justifier.

b)En deduire la nature du triangle BIA.

c)Quelles sont les coordonnees du centre F du cercle C circonscrit au triangle BIA?

Sagot :

Bonjour,

Figure en pièce jointe.

1) Calculons les longueurs de 3 côtés du triangle ABD.

[tex]AB=\sqrt{(3-6)^2+(5-1)^2}=\sqrt{(-3)^2+4^2}=\sqrt{9+16}=\sqrt{25}=5\\\\AD=\sqrt{(11-6)^2+(1-1)^2}=\sqrt{5^2+0^2}=\sqrt{25}=5\\\\DB=\sqrt{(11-3)^2+(1-5)^2}=\sqrt{8^2+(-4)^2}=\sqrt{64+16}=\sqrt{80}\approx 8,9[/tex]

Le triangle ABD est isocèle mais n'est pas rectangle car la relation de Pythagore n'est pas vérifiée. (BD² ≠ AB² + AD²).

2) Démontrons que EA = EB = ED.

[tex]EA=\sqrt{(6-\dfrac{17}{2})^2+(1-6)^2}=\sqrt{(-\dfrac{5}{2})^2+(-5)^2}=\sqrt{\dfrac{25}{4}+25}\\=\sqrt{\dfrac{125}{4}}=\dfrac{5\sqrt{5}}{2}\\\\EB=\sqrt{(3-\dfrac{17}{2})^2+(5-6)^2}=\sqrt{(-\dfrac{11}{2})^2+(-1)^2}=\sqrt{\dfrac{121}{4}+1}\\=\sqrt{\dfrac{125}{4}}=\dfrac{5\sqrt{5}}{2}\\\\ED=\sqrt{(11-\dfrac{17}{2})^2+(1-6)^2}=\sqrt{(\dfrac{5}{2}) ^2+(-5)^2}=\sqrt{\dfrac{25}{4}+25}\\=\sqrt{\dfrac{125}{4}}=\dfrac{5\sqrt{5}}{2}[/tex]

3) a ) Puisque E est le centre du cercle C circonscrit au triangle ABD, (AE) est la médiatrice du segment [BD].

b) Comme (AE) est la médiatrice du segment [BD], les droites (AE) et (BD) sont perpendiculaires.
Le triangle BIA est rectangle en I.

c) Le centre du cercle circonscrit à une triangle rectangle est le milieu de son hypoténuse.

Le point F est donc le milieu du segment [AB]

[tex]F\ (\dfrac{6+3}{2};\dfrac{1+5}{2})\\\\F\ (\dfrac{9}{2} ; 3)[/tex]
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