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Soit un carré ABCD dont la longueur du côté est a

Soit E le mileur de [AD] et F le milieu de [BC]

2. On souhaite démontrer que les droites (EB) et (DF) sont parallèles de différentes manières.

a ) Méthode 1 ; Exprimer le vecteur EB en fonction de AB et AD . Faire de même avec le vecteur DF. Conclure

b ) Méthode 2 ; Dans le repère (D; DC-vecteur, DA-vecteur donner les
coordonnées de D,C,B,A,E et F. Calculer les coordonnées des vecteurs EB
et DE .conclure.

c ) Méthode 3 ; Dans le repère (B, BC-vecteur, BA-vecteur ) determiner
les équations cartésiennes des droites (EB) et (DF) .Conclure.

d ) Méthode 4 ; Pour finir, démontrer le résultat en considérant les angles

Sagot :

Bonsoir,
1. a) On utilise la relation de Chasles.

[tex]\vec{EB}=\vec{EA}+\vec{AB}\\\\\vec{EB}=-\dfrac{1}{2}\vec{AD}+\vec{AB}\\\\\vec{EB}=\vec{AB}-\dfrac{1}{2}\vec{AD}\\\\\\\vec{DF}=\vec{DC}+\vec{CF}\\\\\vec{DF}=\vec{AB}+\dfrac{1}{2}\vec{CB}\\\\\vec{DF}=\vec{AB}-\dfrac{1}{2}\vec{AD}[/tex]

==>  [tex]\vec{EB}=\vec{DF}[/tex]

D'où (EB)//(DF)

b) D (0;0)C (1;0)B (1;1)A (0;1)E (0;1/2)F (1;1/2)

[tex]\vec{EB}\ :\ (1-0;\dfrac{1}{2}-1)\\\\\vec{EB}\ :\ (1;-\dfrac{1}{2})\\\\\\\vec{DF}\ :\ (1;-\dfrac{1}{2})[/tex]

===> [tex]\vec{EB}=\vec{DF}[/tex]

D'où (EB)//(DF)

c) (EB) : y=2x (DF) : y=2x-1.
Les coefficients directeurs des deux droites sont égaux.

D'où (EB)//(DF)

d) Les triangles rectangles EFB et DCF sont égaux.

==> Les angles EBF et DFC sont égaux.
Ce sont des angles correspondants.

Si deux angles correspondants sont égaux, alors les droites sont parallèles.

D'où (EB)//(DF)