KAOREN
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Bonsoir ! Donc j'ai un dm de maths, et il me reste un exo, que je ne comprend absolument PAS ! J'ai réussi à comprendre le 1 grace à internet mais bon..
Alors c'est
1) Déterminer un polynôme P de degré 2 tel que : P(x-1)-P(x)=2x et P(0)=0 
->  P(x) = ax² +bx + c
a(x-1)² + b (x-1) + c - (ax² + bx + c) = 2x
-2ax + a - b = 2x
donc -2a=2 ce et a-b=0 donc a=-1 et b=-1
2) En déduire la somme des n premiers nombres entiers pairs non nuls: S=2+4+...+2n 
Je ne comprends pas ce qu'on me demande de faire, et j'aimerai bien avoir la solution s'il vous plait
3) En déduire la somme des n premiers nombres entiers non nuls.

Sagot :

Pour la question 1 , ON SAIT qu'un polynôme de degré 2 est de la forme P(x)= ax2 + bx + c  ,  a  non nul (c'est la définition d'un polynôme)

on veut donc que P(x-1) - P(x) = 2x  soit encore

a(x-1)2 + b(x-1) + c -  (ax2 + bx + c )= 2x ,

ce qui équivaut à :

-2ax + a -b = 2x  ,  et cela est une identité de deux polynômes donc :   -2a = 2 et  a-b=0  d'où   a=-1 et b aussi. Sauf erreur calcul (heure du repas j'y vais)
1) P(n-1)-P(n)=2n et P(n)=-n²-n
Donc la somme des n premiers nombres pairs c'est sygma de k=1 à n de P(k-1)-P(k).
Donc S= P(0)-P(1)+P(1)-P(2)+P(2)-P(3)+..............P(n-1)-P(n)= P(0)-P(n)
=0-(-n²-n)=n²+n= n(n+1)
S=n(n+1)
2) P(n-1)-P(n)=2n donc (P(n-1)-P(n))/2 =n
Donc la somme des n premiers nombres c'est sygma de k=1 à n de (P(k-1)-P(k))/2
donc c'est S/2= n(n+1)/2