ABC est un triangle isocèle en A , de périmètre 16cm. De plus son aire est le quart de l'aire du carrée ayant pour côté [BC] Quelles sont les longueurs de ce triangle ?
AB + AC + BC = 16
Or AB = AC
Donc : 2AB + BC = 16.
Si H est le milieu de [BC], alors son aire est AH.BC / 2.
Or cette aire vaut BC² / 4
Donc AH.BC / 2 = BC² / 4 = (BC / 2)²
Donc AH = BC / 2.
Enfin (AHB) est rectangle en H
Donc AH² + (BC / 2)² = AB² (Théorème de Pythagore)
Donc (BC / 2)² + (BC / 2)² = AB²
Donc 2BC² / 4 = AB²
Donc BC² = 2AB²
Donc BC=ABV2.
Finalement 2AB+BC=2AB+ABV2=16
Donc AB(2+V2)=16
Donc AB=AC=16/(2+V2)=16(2-V2)/2=8(2-V2)
Et BC=ABV2=8(2V2-2)=16(V2-1).
