Bonjour, pourriez-vous m'aider s'il vous plait parce que je ne comprend pas, voici l'énoncer avec la figure:

ABC est un triangle équilatéral de côté 12cm et I est le milieu du segment [AB].
M est un point variable du segment [AI] et N le point du segment [AB] distinct de M tel que AM=NB.
Q est le point du segment [BC] et P est le point du segment [AC] tels que MNQP soit un rectangle.
On note f la fonction qui à x=AM (en cm) associe l'aire, en cm carré, du rectangle MNQP.

Questions:
a) Quel est l'ensemble de définition de f ?
b) Exprimer MN, puis MP en fonction de x. En déduire l'expression algébrique de f(x).
c) Calculer f(3), puis vérifier que pour tout x de [0;6[ :
f(x)-f(3)=-23 (x-3)au carré
d) En déduire que f(3) est le maximum de f sur [0;6[
e) Quelles sont les dimensions du rectangle d'aire maximale ?

Merci d'avance !!

Question

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Bonjour, pourriez-vous m'aider s'il vous plait parce que je ne comprend pas, voici l'énoncer avec la figure:

ABC est un triangle équilatéral de côté 12cm et I est le milieu du segment [AB].
M est un point variable du segment [AI] et N le point du segment [AB] distinct de M tel que AM=NB.
Q est le point du segment [BC] et P est le point du segment [AC] tels que MNQP soit un rectangle.
On note f la fonction qui à x=AM (en cm) associe l'aire, en cm carré, du rectangle MNQP.

Questions:
a) Quel est l'ensemble de définition de f ?
b) Exprimer MN, puis MP en fonction de x. En déduire l'expression algébrique de f(x).
c) Calculer f(3), puis vérifier que pour tout x de [0;6[ :
f(x)-f(3)=-23 (x-3)au carré
d) En déduire que f(3) est le maximum de f sur [0;6[
e) Quelles sont les dimensions du rectangle d'aire maximale ?

Merci d'avance !!

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OCEAN222 OCEAN222 · Answer 1 · 2013-11-16T00:41:38+01:00

) x = AM,  M appartient [AI] et AI=6 cm, donc 0 < x < 6
   L'ensemble de définition est ]0;6[

b) Si M appartient [AI], N appartient [AI] et AM = NB = x
   alors MN = AB - AM -NB
         MN = 12 - 2x

   pour MP :
le triangle APM est rectangle en M
et l'angle PAM = 60° (étant donné que ABC est un triangle équilatéral et que les angles d'un triangle équilatéral mesurent toujours 60°)
   donc, tan PAM = côté opposé / côté adjacent
         tan PAM = PM / AM
         tan 60° = PM / x
         3 = PM / x
         et PM = x3

   expression algébrique de f(x):
         f(x) = MN X MP
         f(x) = (12 - 2x)(x3)
         f(x) = 123x - 2x au carré3

c)  f(3) = 123 X 3 - 2 X 3 au carré3
    f(3) = 363 - 183
    f(3) = 183

    f(x) - f(3) = 123x - 2x au carré 3 - 183
    f(x) - f(3) = 3 (12x - 2x au carré - 18)
    f(x) - f(3) = 23 (6x - x au carré - 9)
    f(x) - f(3) = -23 (-6x + x au carré + 9)
    f(x) - f(3) = -23 (x - 3)au carré

d)  f(x) est l'aire d'un rectangle donc f(x) est un nombre positif.
         (x - 3) au carré 0 (un carré est toujours positif)
         -23 (x - 3) au carré 0
    donc f(x) - f(3) 0 et f(x) f(3) et f(3) est le maximum.

e) Le maximum est atteint pour x = 3
         Les dimensions du rectangle d'aire maximale sont:
   MN = 12 - 2 X 3 = 6
   MP = 33

Sagot :

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