Dans un repère orthonormé ( 0 , i , j ) , M ,M' et N le milieu du segment [MM'] , et d
la droite d'équation y=x .
1. M(x;y) et M’(y;x) dans ( 0 ,i , j ) donc N(1/2(x+y) ;1/2(x+y))
yN=xN Donc N appartient à (d)
OM²=x²+y² ; OM’²=x²+y² donc OM=OM’ donc OMM’ isocèle en O donc (d)=(ON)
xM=yM’ et xM’=yM donc M et M’ sont symétriques par rapport à (d)
2. Soit M(x;y) et M'(x';y') deux points symétriques par rapport à la droite d
d'équation y=x ,
P(x;x) et Q(y;y) donc MP²=(y-x)² et MQ²=(y-x)² donc MP=MQ
donc M appartient à (d)
donc le quadrilatère PMQM' est un carré
donc vec(MP)=vec(QM’)
vec(MP)(0 ;x-y) et vec(QM’)(x’-y ;y’-y)
Donc x’-y=0 et y’-y=x-y donc x'=y
et y'=x .
Conclusion : M et M’ sont symétriques par rapport à (d)
ssi M(x ;y) et M’(y ;x)
